Итоговая работа по теме «Подобие»

Часть 1.

1.Известно, что для сторон ΔАВС и ΔMNP верно равенство \frac {AC}{MN}=\frac {BC}{NP}=\frac {AB}{PM}. Выберите верную запись.
1) ∠АВС = ∠PMN   2) ∠АВС = ∠MPN
3) ∠АВС = ∠NMP   2) ∠АВС = ∠PNM

2. Известно, что ΔАВС ∼ ΔDEF, \frac {AB}{DE}=\frac {AC}{DF}. Найдите ∠Е, если ∠А = 74º, ∠С = 47º.
1) 44º   2) 59º   3) 121º   4) другой ответ.

3. Большая сторона треугольника равна 18. Найдите остальные стороны треугольника, если стороны подобного ему треугольника равны 4, 6, 9.
1) 6, 3   2) 5, 9   3) 8, 12   4) другой ответ

4. Стороны треугольника равны 7, 13, 8. Найдите стороны другого треугольника, подобного данному, если его периметр равен 56.
1) 14, 26, 16   2) 15, 18, 23   3) 14, 20, 24   4) другой ответ

5. Найдите стороны треугольника АВС, если он подобен треугольнику А_1В_1С_1 со сторонами 8, 16, 18, и S_{ABC}:S_{A_1B_1C_1}=1:4
1) 2; 4; 4,5   2) 16; 32; 36   3) 4; 8; 9   4) 2; 8; 9

Часть 2.

6. Четырёхугольник ABCD — трапеция (ВС||AD), О — точка пересечения диагоналей. Найдите ВО и OD, если ВС = 3, AD = 5, BD = 24.

7. Укажите номера верных утверждений.
1) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2) Любые два равнобедренных треугольника подобны.
3) Отношение сходственных сторон треугольника есть коэффициент подобия.
4) Диагональ трапеции делит её на две подобные фигуры.
5) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Часть 3.

8. Докажите, что четырёхугольник, вершинами которого являются середины сторон прямоугольника, является ромбом.

9. Длины сторон треугольника пропорциональны числам 4; 7; 9. Наибольшая сторона превосходит наименьшую на 10 см. Найдите периметр треугольника. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответы:

1.  2) ∠ ABC = ∠ MPN

2. 2) 59°

∠D = ∠A = 74°;
∠F = ∠C = 47°;
∠D + ∠E + ∠F = 180°;
∠E = 180° — (74° + 47°) = 59°

3. 3) 8, 12

k = 18 : 9 = 2 — коэффициент подобия
4 · 2 = 8 — вторая сторона
6 · 2 = 12 — третья сторона

4. 1) 14, 26, 16

7 + 13 + 8 = 28 — периметр первого треугольника
56 : 28 = 2 — коэффициент подобия
7 · 2 = 14 — первая сторона
13 · 2 = 26 вторая сторона
8 · 2 = 16 — третья сторона

5. 3) 4; 8; 9

S_{ABC}:S_{A_1B_1C_1}=k^2
k^2=\frac {1}{4}
k=\frac {1}{2}
AB=A_1B_1 \cdot k =8 \cdot \frac {1}{2} = 4
AC=A_1C_1 \cdot k =16 \cdot \frac {1}{2} = 8
BC=B_1C_1 \cdot k =18 \cdot \frac {1}{2} = 9

6. 9; 15


ΔВОС ∼ ΔDОА по 1 признаку подобия (∠ВОС = ∠DOA — как вертикальные, ∠COB = ∠ADO — как н/л углы при ВС||AD, секущей BD).
Пусть BO = х, тогда OD = 24 — х.
\frac {BC}{AD}=\frac {BO}{OD}
\frac {3}{5}=\frac {x}{24-x}
5x = 72 - 3x
8x = 72
x = 9 — BO
24 — 9 = 15 — OD.

7. 135

8. 
ABCD — прямоугольник. По свойству AC = BD.
По определению HF — средняя линия треугольника ABD.  HF||BD, HF=\frac {1}{2}BD.
По определению IG — средняя линия треугольника CBD.  IG||BD, IG=\frac {1}{2}BD.
По определению HG — средняя линия треугольника CDA.  HG||AC, HG=\frac {1}{2}AC.
По определению FI — средняя линия треугольника ABC.  FI||AC, FI=\frac {1}{2}AC.
Значит, HF||IG, HG||IF и HF=IG=HG=IF.
HFIG — ромб.

9. 40

Пусть 4x см, 7х см, 9x см — стороны треугольника.
9х — 4х = 10
5х = 10
х = 2
4 · 2 = 8 см — первая сторона
7 · 2 = 14 см — вторая сторона
9 · 2 = 18 см — третья сторона
8 + 14 + 18 = 40 см — периметр.

 

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.