Площадь прямоугольника. Задачи на готовых чертежах. Балаян Э.Н.

Площадь прямоугольника. Задачи на готовых чертежах. Балаян Э.Н.


Ответы:

№1 

S_{ABCD} = AB·ВС

S_{ABCD}= 6 · 3 = 18

Ответ: 18.

№2

АBCD — прямоугольник. Значит, АВ = CD и BC = AD.

По условию BC = AВ. Значит, АВ = CD = BC = AD.

АВСD по определению квадрат.

P_{ABCD} = 28, значит АВ = CD = BC = AD=7

S_{ABCD} = 7 · 7 = 49

Ответ: 49.

№3.

Рассмотрим ΔАСD. ∠АСD = 60º, ∠АDС = 90º. Можем найти ∠САD = 90º — 60º= 30º.

СD = \frac {AC}{2}
(Катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы)

CD = 6.

S_{ABCD} = CD · AD.

S_{ABCD} = 6 · 10 = 60.

Ответ: 60.

№4. 

Пусть ВС=х, тогда АВ=3х. С другой стороны АВ = 12 + х. Составляем уравнение:

3х = 12 + х;

2х = 12;

х=6.

ВС=6;  АВ=3·6=18.

S_{ABCD} = ВС · AВ.

S_{ABCD} = 6 · 18 = 108.

Ответ: 108.

№5.

Пусть ВС=х, тогда АВ=4х.

P_{ABCD} = (ВС + АВ) · 2;

P_{ABCD} = 30;

Составляем уравнение:

(х + 4х) · 2 = 30;

5х = 15;

х=3.

ВС=3; АВ = 4 · 3 = 12.

S_{ABCD} = ВС · AВ.

S_{ABCD} = 3 · 12 = 36.

Ответ: 36.

№6.

Пусть DC=х, тогда AD=2x.

P_{ABCD} = (СD + АD) · 2;

P_{ABCD} = 36;

Составляем уравнение:

(х + 2х) · 2 = 36;

3х = 18;

х=6.

СD=3; АD = 2 · 6 = 12.

S_{ABCD} = СD · AD.

S_{ABCD} = 6 · 12 = 72.

Ответ: 72.

№7.

ABCD — квадрат, так как AD=СD=AB=BC.

Рассмотрим ΔMCD. ∠М=30º, ∠D=90º.

СD = \frac {MC}{2}
(Катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы)

СD =\frac {20}{2} = 10

S_{ABCD} = 10² = 100.

Ответ: 100.

№8.

Рассмотрим ΔСМК и ΔАКВ.

∠С = ∠В = 90º; ∠АКВ=∠СКМ (как вертикальные); СК=КВ (по условию).

ΔСМК = ΔАКВ по второму признаку равенства треугольников.

Значит, S_{ABK}=S_{CMK}.

S_{ABCD}=S_{ADCK}+S_{ABK}.

S_{AMD}=S_{ADCK}+S_{CMK}.

S_{ABCD}=S_{AMD}=33.

Ответ: 33.

№9.

∠СВК=∠АВК по условию;

∠СВК=∠АКВ (н/л углы при ВС∥AD, секущей ВК).

Значит, ∠АВК=∠АКВ

ΔАВК — равнобедренный. АВ=АК=5.

AD= 5 + 3 = 8.

S_{ABCD} = АВ · AD.

S_{ABCD} = 5 · 8 = 40.

Ответ: 40.

№10.

Рассмотрим  ΔАВЕ. ∠А=60º, ∠D=90º, ∠В=30º.

АЕ = \frac {AB}{2}
(Катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы)

АВ = АЕ · 2;

AB = 2,5 \sqrt{3} \cdot 2 = 5\sqrt{3}.

S_{ABCD} = АВ · AD.

S_{ABCD} = 5\sqrt{3} \cdot 15 = 75 \sqrt{3}

Ответ: 75 \sqrt{3}.

№11.

Рассмотрим ΔАВС. ∠А=60º, ∠В=90º, ∠С=30º.

Рассмотрим ΔВСЕ.  ∠Е=90º, ∠С=30º.

BЕ = \frac {BC}{2}
(Катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы)

ВС = ВЕ · 2;

ВЕ = 6 · 2 = 12.

S_{ABCD} = СD · AD.

S_{ABCD} = 4\sqrt{3} \cdot 12 = 48 \sqrt{3}

Ответ: 48 \sqrt{3}.

№12.

ABCD — квадрат. АВ=ВС=СD=AD.

Рассмотрим ΔACD и ΔCDE.

∠ADC = ∠CDE = 90º;  AD=DE, CD — общая.

ΔACD = ΔCDE по первому признаку равенства треугольников.

Рассмотрим ΔACD и ΔABC.

∠ADC = ∠ABC = 90º;  AB=AD, BC=CD.

ΔACD = ΔABC по первому признаку равенства треугольников.

Значит, S_{ACD}=S_{CDE}=S_{ABC}.

S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}.

S_{ACE}=S_{ACD}+S_{CDE}.

S_{ABCD}=S_{ACE}=64.

Ответ:64.

№13.

Пусть АВ=х, тогда ВС = 5+х.

P_{ABCD} = (ВС + АВ) · 2;

P_{ABCD} = 46;

Составляем уравнение:

(х + х  + 5) · 2 = 46;

2х + 5= 23;

2х = 18;

х=9.

АВ=9; ВС = 5 + 9 = 14.

S_{ABCD} = ВС · AВ.

S_{ABCD} = 14 · 9 = 126.

Ответ: 126.

№14.

Пусть АВ=х, тогда АD=3х.

Рассмотрим ΔAВМ и ΔMNC.

∠B = ∠C = 90º; ∠ВМА = ∠CMN (как вертикальные);  ВМ=МС (по условию).

ΔAВМ = ΔMNC по второму признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует: АВ=NC=х.

MC= \frac {BC}{2}=\frac {3x}{2}

S_{MNC}=\frac {MC \cdot NC}{2}.

S_{MNC}=27.

Составляем уравнение:

\frac {\frac {3x}{2}\cdot x}{2}=27.

3x² = 4 · 27

x² = 36

x = 6.

АВ = 6; AD = 3 · 6 = 18;

S_{ABCD} = АВ · AD.

S_{ABCD} = 6 \cdot 18 = 108

Ответ: 108.

№15.

Рассмотрим ΔADE и ΔBCF.

∠D = ∠C = 90º;  AD=CB (как противолежащие стороны прямоугольника); DE=FC (по условию).

ΔADE = ΔBCF по первому признаку равенства треугольников.

∠DEA = ∠BFC.

∠DEA = ∠КЕН (как вертикальные)

∠BFC = ∠КFH (как вертикальные)

∠КЕН = ∠КFH. Значит, ΔKEF — равнобедренный.  KE=KF.

Проведём высоту КН в ΔKEF. Она является медианой. Значит, EH=HF= \frac {1}{2}EF.

EH=HF=DE=FC (по условию)

Рассмотрим ΔKHF и ΔCFB.

∠KHF = ∠C = 90º; ∠BFC = ∠КFH (как вертикальные); HF=FC.

ΔKHF = ΔCFB по второму признаку равенства треугольников.

Значит, KH=ВС=AD.

Пусть DC=7х, тогда AD=4х.

KH=4x, EF=\frac {7x}{2}

S_{KFE}=\frac {KH \cdot EF}{2}.

S_{KFE}=28.

Составляем уравнение:

\frac {4х \cdot \frac {7x}{2}}{2}=28.

28х² = 4· 28;

х² = 4;

х = 2.

АD = 2 · 4 = 8; CD = 2 · 7 = 14;

S_{ABCD} = АD · CD.

S_{ABCD} = 8 \cdot 14 = 112

Ответ: 112.

 

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.