Площадь прямоугольника. Задачи на готовых чертежах. Балаян Э.Н.
Ответы:
№1
= AB·ВС
= 6 · 3 = 18
Ответ: 18.
№2
АBCD — прямоугольник. Значит, АВ = CD и BC = AD.
По условию BC = AВ. Значит, АВ = CD = BC = AD.
АВСD по определению квадрат.
= 28, значит АВ = CD = BC = AD=7
= 7 · 7 = 49
Ответ: 49.
№3.
Рассмотрим ΔАСD. ∠АСD = 60º, ∠АDС = 90º. Можем найти ∠САD = 90º — 60º= 30º.
СD = 
(Катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы)
CD = 6.
= CD · AD.
= 6 · 10 = 60.
Ответ: 60.
№4.
Пусть ВС=х, тогда АВ=3х. С другой стороны АВ = 12 + х. Составляем уравнение:
3х = 12 + х;
2х = 12;
х=6.
ВС=6; АВ=3·6=18.
= ВС · AВ.
= 6 · 18 = 108.
Ответ: 108.
№5.
Пусть ВС=х, тогда АВ=4х.
= (ВС + АВ) · 2;
= 30;
Составляем уравнение:
(х + 4х) · 2 = 30;
5х = 15;
х=3.
ВС=3; АВ = 4 · 3 = 12.
= ВС · AВ.
= 3 · 12 = 36.
Ответ: 36.
№6.
Пусть DC=х, тогда AD=2x.
= (СD + АD) · 2;
= 36;
Составляем уравнение:
(х + 2х) · 2 = 36;
3х = 18;
х=6.
СD=3; АD = 2 · 6 = 12.
= СD · AD.
= 6 · 12 = 72.
Ответ: 72.
№7.
ABCD — квадрат, так как AD=СD=AB=BC.
Рассмотрим ΔMCD. ∠М=30º, ∠D=90º.
СD = 
(Катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы)
СD =
= 10² = 100.
Ответ: 100.
№8.
Рассмотрим ΔСМК и ΔАКВ.
∠С = ∠В = 90º; ∠АКВ=∠СКМ (как вертикальные); СК=КВ (по условию).
ΔСМК = ΔАКВ по второму признаку равенства треугольников.
Значит, 
.
.
.
Ответ: 33.
№9.
∠СВК=∠АВК по условию;
∠СВК=∠АКВ (н/л углы при ВС∥AD, секущей ВК).
Значит, ∠АВК=∠АКВ
ΔАВК — равнобедренный. АВ=АК=5.
AD= 5 + 3 = 8.
= АВ · AD.
= 5 · 8 = 40.
Ответ: 40.
№10.
Рассмотрим ΔАВЕ. ∠А=60º, ∠D=90º, ∠В=30º.
АЕ = 
(Катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы)
АВ = АЕ · 2;
.
= АВ · AD.
Ответ: 
.
№11.
Рассмотрим ΔАВС. ∠А=60º, ∠В=90º, ∠С=30º.
Рассмотрим ΔВСЕ. ∠Е=90º, ∠С=30º.
BЕ = 
(Катет, лежащий напротив угла 30° равен половине гипотенузы)
ВС = ВЕ · 2;
ВЕ = 6 · 2 = 12.
= СD · AD.
Ответ: 
.
№12.
ABCD — квадрат. АВ=ВС=СD=AD.
Рассмотрим ΔACD и ΔCDE.
∠ADC = ∠CDE = 90º; AD=DE, CD — общая.
ΔACD = ΔCDE по первому признаку равенства треугольников.
Рассмотрим ΔACD и ΔABC.
∠ADC = ∠ABC = 90º; AB=AD, BC=CD.
ΔACD = ΔABC по первому признаку равенства треугольников.
Значит, 
.
.
.
Ответ:64.
№13.
Пусть АВ=х, тогда ВС = 5+х.
= (ВС + АВ) · 2;
= 46;
Составляем уравнение:
(х + х + 5) · 2 = 46;
2х + 5= 23;
2х = 18;
х=9.
АВ=9; ВС = 5 + 9 = 14.
= ВС · AВ.
= 14 · 9 = 126.
Ответ: 126.
№14.
Пусть АВ=х, тогда АD=3х.
Рассмотрим ΔAВМ и ΔMNC.
∠B = ∠C = 90º; ∠ВМА = ∠CMN (как вертикальные); ВМ=МС (по условию).
ΔAВМ = ΔMNC по второму признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников следует: АВ=NC=х.
.
.
Составляем уравнение:
.
3x² = 4 · 27
x² = 36
x = 6.
АВ = 6; AD = 3 · 6 = 18;
= АВ · AD.
Ответ: 108.
№15.
Рассмотрим ΔADE и ΔBCF.
∠D = ∠C = 90º; AD=CB (как противолежащие стороны прямоугольника); DE=FC (по условию).
ΔADE = ΔBCF по первому признаку равенства треугольников.
∠DEA = ∠BFC.
∠DEA = ∠КЕН (как вертикальные)
∠BFC = ∠КFH (как вертикальные)
∠КЕН = ∠КFH. Значит, ΔKEF — равнобедренный. KE=KF.
Проведём высоту КН в ΔKEF. Она является медианой. Значит, EH=HF=
EF.
EH=HF=DE=FC (по условию)
Рассмотрим ΔKHF и ΔCFB.
∠KHF = ∠C = 90º; ∠BFC = ∠КFH (как вертикальные); HF=FC.
ΔKHF = ΔCFB по второму признаку равенства треугольников.
Значит, KH=ВС=AD.
Пусть DC=7х, тогда AD=4х.
KH=4x, EF=
.
.
Составляем уравнение:
.
28х² = 4· 28;
х² = 4;
х = 2.
АD = 2 · 4 = 8; CD = 2 · 7 = 14;
= АD · CD.
Ответ: 112.
