Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте первый признак подобия треугольников.
8. (21 из учебника) В трапеции ABCD проведены диагонали АС и BD. В силу какого признака подобия треугольников ΔСОВ ∼ ΔAOD?
9. В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD и отрезок AF. Известно, что ВО = 6 см, OD = 18 см. Укажите подобные треугольники и определите коэффициент их подобия.
10. В равнобедренных треугольниках АВС (АВ = ВС) и EDF (ED = DF) углы при вершинах B и D равны. Докажите, что треугольники АВС и EDF подобны.
11. Определите, подобны ли остроугольные равнобедренные треугольники, если они имеют по равному острому углу.
12. Определите, подобны ли тупоугольные равнобедренные треугольники, если у них тупые углы равны.
13. Определите, подобны ли равнобедренные треугольники, если угол при вершине одного из них равен 54º, а угол при основании другого — 63º.
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте второй признак подобия треугольников.
14. В треугольниках АВС и EDF углы при вершинах B и D равны, а стороны АВ и ВС, заключающие ∠В, соответственно больше сторон ED и DF, заключающих ∠D, в три раза. Определите, подобны ли эти треугольники.
Внимательно посмотрите решение задачи №31 (учебное пособие §11), это поможет при решении следующей задачи.
15. В треугольнике из всех вершин проведены высоты. Докажите, что треугольники, имеющие общую вершину с данным треугольником, подобны между собой.
Сделайте необходимый рисунок и сформулируйте третий признак подобия треугольников.
16. Боковая сторона и основание одного равнобедренного треугольника соответственно равны 34 см и 20 см, а другого — 17 см и 10 см. Определите, подобны ли эти треугольники.
17. Треугольники АВС и DFG равносторонние. В силу какого признака подобия треугольников ΔАВС ∼ ΔDFG?
18. На сторонах равностороннего треугольника АВС отложены отрезки АР = BR = CQ. Докажите, что ΔPQR подобен ΔАВС.
19. Какие из приведённых пар треугольников являются подобными?
20. В треугольник, у которого основание равно 30 см, а высота 10 см, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что его гипотенуза параллельна основанию данного треугольника, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Найдите гипотенузу.
21. Точки M, N и Р лежат соответственно на сторонах АС, ВС и АС треугольника АВС, причём МN∥АС, NP∥АВ. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если АВ = 16 см, АС = 24 см, PN : MN = 2 : 3.
В задаче №15 (учебное пособие §11) доказывается очень важное свойство, которое можно сформулировать так: «Прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает от него подобный треугольник». Используйте его при решении задач.
22. В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 10 см, а основание 12 см, вписана окружность. Определите расстояние между точками касания, находящимися на его боковых сторонах.
23*. В параллелограмм вписан ромб так, что его стороны параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите сторону ромба, если диагонали параллелограмма равны 12 см и 6 см.