Учебная платформа

Справочник умений

Что проверяют задачи платформы: предметные результаты и темы содержания федеральной образовательной программы (7–9 и 10–11 классы) и требования кодификатора ЕГЭ. Формулировки — дословно из официальных документов.

ФОП основной школы

Источник: федеральная рабочая программа «Математика. 5–9 классы (базовый уровень)», edsoo.ru, 2023. Коды: «Г8.1» — предметный результат (геометрия, 8 класс, пункт 1), «Г8.т2» — тема содержания.

Алгебра

7 класс

Предметные результаты

  • Числа и вычисления
    А7.1Выполнять, сочетая устные и письменные приёмы, арифметические действия с рациональными числами.
  • А7.2Находить значения числовых выражений, применять разнообразные способы и приёмы вычисления значений дробных выражений, содержащих обыкновенные и десятичные дроби.
  • А7.3Переходить от одной формы записи чисел к другой (преобразовывать десятичную дробь в обыкновенную, обыкновенную в десятичную, в частности в бесконечную десятичную дробь).
  • А7.4Сравнивать и упорядочивать рациональные числа.
  • А7.5Округлять числа.
  • А7.6Выполнять прикидку и оценку результата вычислений, оценку значений числовых выражений. Выполнять действия со степенями с натуральными показателями.
  • А7.7Применять признаки делимости, разложение на множители натуральных чисел.
  • А7.8Решать практико-ориентированные задачи, связанные с отношением величин, пропорциональностью величин, процентами, интерпретировать результаты решения задач с учётом ограничений, связанных со свойствами рассматриваемых объектов.
  • Алгебраические выражения
    А7.9Использовать алгебраическую терминологию и символику, применять её в процессе освоения учебного материала.
  • А7.10Находить значения буквенных выражений при заданных значениях переменных.
  • А7.11Выполнять преобразования целого выражения в многочлен приведением подобных слагаемых, раскрытием скобок.
  • А7.12Выполнять умножение одночлена на многочлен и многочлена на многочлен, применять формулы квадрата суммы и квадрата разности.
  • А7.13Осуществлять разложение многочленов на множители с помощью вынесения за скобки общего множителя, группировки слагаемых, применения формул сокращённого умножения.
  • А7.14Применять преобразования многочленов для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики.
  • А7.15Использовать свойства степеней с натуральными показателями для преобразования выражений.
  • Уравнения и неравенства
    А7.16Решать линейные уравнения с одной переменной, применяя правила перехода от исходного уравнения к равносильному ему. Проверять, является ли число корнем уравнения.
  • А7.17Применять графические методы при решении линейных уравнений и их систем.
  • А7.18Подбирать примеры пар чисел, являющихся решением линейного уравнения с двумя переменными.
  • А7.19Строить в координатной плоскости график линейного уравнения с двумя переменными, пользуясь графиком, приводить примеры решения уравнения.
  • А7.20Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными, в том числе графически.
  • А7.21Составлять и решать линейное уравнение или систему линейных уравнений по условию задачи, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат.
  • Функции
    А7.22Изображать на координатной прямой точки, соответствующие заданным координатам, лучи, отрезки, интервалы, записывать числовые промежутки на алгебраическом языке.
  • А7.23Отмечать в координатной плоскости точки по заданным координатам, строить графики линейных функций. Строить график функции y = |x|.
  • А7.24Описывать с помощью функций известные зависимости между величинами: скорость, время, расстояние, цена, количество, стоимость, производительность, время, объём работы.
  • А7.25Находить значение функции по значению её аргумента.
  • А7.26Понимать графический способ представления и анализа информации, извлекать и интерпретировать информацию из графиков реальных процессов и зависимостей.

Темы содержания

  • Числа и вычисления
    А7.т1Дроби обыкновенные и десятичные, переход от одной формы записи дробей к другой.
  • А7.т2Понятие рационального числа, запись, сравнение, упорядочивание рациональных чисел.
  • А7.т3Арифметические действия с рациональными числами.
  • А7.т4Решение задач из реальной практики на части, на дроби.
  • А7.т5Степень с натуральным показателем: определение, преобразование выражений на основе определения, запись больших чисел.
  • А7.т6Проценты, запись процентов в виде дроби и дроби в виде процентов.
  • А7.т7Три основные задачи на проценты, решение задач из реальной практики.
  • А7.т8Применение признаков делимости, разложение на множители натуральных чисел.
  • А7.т9Реальные зависимости, в том числе прямая и обратная пропорциональности.
  • Алгебраические выражения
    А7.т10Переменные, числовое значение выражения с переменной.
  • А7.т11Допустимые значения переменных.
  • А7.т12Представление зависимости между величинами в виде формулы.
  • А7.т13Вычисления по формулам.
  • А7.т14Преобразование буквенных выражений, тождественно равные выражения, правила преобразования сумм и произведений, правила раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.
  • А7.т15Свойства степени с натуральным показателем.
  • А7.т16Одночлены и многочлены.
  • А7.т17Степень многочлена.
  • А7.т18Сложение, вычитание, умножение многочленов.
  • А7.т19Формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности.
  • А7.т20Формула разности квадратов.
  • А7.т21Разложение многочленов на множители.
  • Уравнения и неравенства
    А7.т22Уравнение, корень уравнения, правила преобразования уравнения, равносильность уравнений.
  • А7.т23Линейное уравнение с одной переменной, число корней линейного уравнения, решение линейных уравнений.
  • А7.т24Составление уравнений по условию задачи.
  • А7.т25Решение текстовых задач с помощью уравнений.
  • А7.т26Линейное уравнение с двумя переменными и его график.
  • А7.т27Система двух линейных уравнений с двумя переменными.
  • А7.т28Решение систем уравнений способом подстановки.
  • А7.т29Примеры решения текстовых задач с помощью систем уравнений.
  • Функции
    А7.т30Координата точки на прямой.
  • А7.т31Числовые промежутки.
  • А7.т32Расстояние между двумя точками координатной прямой.
  • А7.т33Прямоугольная система координат, оси Ox и Oy.
  • А7.т34Абсцисса и ордината точки на координатной плоскости.
  • А7.т35Примеры графиков, заданных формулами.
  • А7.т36Чтение графиков реальных зависимостей.
  • А7.т37Понятие функции.
  • А7.т38График функции.
  • А7.т39Свойства функций.
  • А7.т40Линейная функция, её график.
  • А7.т41График функции y = |x|.
  • А7.т42Графическое решение линейных уравнений и систем линейных уравнений.
8 класс

Предметные результаты

  • Числа и вычисления
    А8.1Использовать начальные представления о множестве действительных чисел для сравнения, округления и вычислений, изображать действительные числа точками на координатной прямой.
  • А8.2Применять понятие арифметического квадратного корня, находить квадратные корни, используя при необходимости калькулятор, выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, используя свойства корней.
  • А8.3Использовать записи больших и малых чисел с помощью десятичных дробей и степеней числа 10.
  • Алгебраические выражения
    А8.4Применять понятие степени с целым показателем, выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целым показателем.
  • А8.5Выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил действий над многочленами и алгебраическими дробями.
  • А8.6Раскладывать квадратный трёхчлен на множители.
  • А8.7Применять преобразования выражений для решения различных задач из математики, смежных предметов, из реальной практики.
  • Уравнения и неравенства
    А8.8Решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений с двумя переменными.
  • А8.9Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее).
  • А8.10Переходить от словесной формулировки задачи к её алгебраической модели с помощью составления уравнения или системы уравнений, интерпретировать в соответствии с контекстом задачи полученный результат.
  • А8.11Применять свойства числовых неравенств для сравнения, оценки, решать линейные неравенства с одной переменной и их системы, давать графическую иллюстрацию множества решений неравенства, системы неравенств.
  • Функции
    А8.12Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения), определять значение функции по значению аргумента, определять свойства функции по её графику.
  • А8.13Строить графики элементарных функций вида: y = k/x, y = x², y = x³, y = √x, y = |x|, описывать свойства числовой функции по её графику.

Темы содержания

  • Числа и вычисления
    А8.т1Квадратный корень из числа.
  • А8.т2Понятие об иррациональном числе.
  • А8.т3Десятичные приближения иррациональных чисел.
  • А8.т4Свойства арифметических квадратных корней и их применение к преобразованию числовых выражений и вычислениям.
  • А8.т5Действительные числа.
  • А8.т6Степень с целым показателем и её свойства.
  • А8.т7Стандартная запись числа.
  • Алгебраические выражения
    А8.т8Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на множители.
  • А8.т9Алгебраическая дробь.
  • А8.т10Основное свойство алгебраической дроби.
  • А8.т11Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей.
  • А8.т12Рациональные выражения и их преобразование.
  • Уравнения и неравенства
    А8.т13Квадратное уравнение, формула корней квадратного уравнения.
  • А8.т14Теорема Виета.
  • А8.т15Решение уравнений, сводящихся к линейным и квадратным.
  • А8.т16Простейшие дробно-рациональные уравнения.
  • А8.т17Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и систем линейных уравнений с двумя переменными.
  • А8.т18Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными.
  • А8.т19Решение текстовых задач алгебраическим способом.
  • А8.т20Числовые неравенства и их свойства.
  • А8.т21Неравенство с одной переменной.
  • А8.т22Равносильность неравенств.
  • А8.т23Линейные неравенства с одной переменной.
  • А8.т24Системы линейных неравенств с одной переменной.
  • Функции
    А8.т25Понятие функции.
  • А8.т26Область определения и множество значений функции.
  • А8.т27Способы задания функций.
  • А8.т28График функции.
  • А8.т29Чтение свойств функции по её графику.
  • А8.т30Примеры графиков функций, отражающих реальные процессы.
  • А8.т31Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики.
  • А8.т32Функции y = x², y = x³, y = √x, y = |x|.
  • А8.т33Графическое решение уравнений и систем уравнений.
9 класс

Предметные результаты

  • Числа и вычисления
    А9.1Сравнивать и упорядочивать рациональные и иррациональные числа.
  • А9.2Выполнять арифметические действия с рациональными числами, сочетая устные и письменные приёмы, выполнять вычисления с иррациональными числами.
  • А9.3Находить значения степеней с целыми показателями и корней, вычислять значения числовых выражений.
  • А9.4Округлять действительные числа, выполнять прикидку результата вычислений, оценку числовых выражений.
  • Уравнения и неравенства
    А9.5Решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к ним, простейшие дробно-рациональные уравнения.
  • А9.6Решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными и системы двух уравнений, в которых одно уравнение не является линейным.
  • А9.7Решать текстовые задачи алгебраическим способом с помощью составления уравнения или системы двух уравнений с двумя переменными.
  • А9.8Проводить простейшие исследования уравнений и систем уравнений, в том числе с применением графических представлений (устанавливать, имеет ли уравнение или система уравнений решения, если имеет, то сколько, и прочее).
  • А9.9Решать линейные неравенства, квадратные неравенства, изображать решение неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов.
  • А9.10Решать системы линейных неравенств, системы неравенств, включающие квадратное неравенство, изображать решение системы неравенств на числовой прямой, записывать решение с помощью символов.
  • А9.11Использовать неравенства при решении различных задач.
  • Функции
    А9.12Распознавать функции изученных видов. Показывать схематически расположение на координатной плоскости графиков функций вида: y = kx, y = kx + b, y = k/x, y = ax² + bx + c, y = x³, y = √x, y = |x| в зависимости от значений коэффициентов, описывать свойства функций.
  • А9.13Строить и изображать схематически графики квадратичных функций, описывать свойства квадратичных функций по их графикам.
  • А9.14Распознавать квадратичную функцию по формуле, приводить примеры квадратичных функций из реальной жизни, физики, геометрии.
  • Числовые последовательности и прогрессии
    А9.15Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при разных способах задания.
  • А9.16Выполнять вычисления с использованием формул n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов.
  • А9.17Изображать члены последовательности точками на координатной плоскости.
  • А9.18Решать задачи, связанные с числовыми последовательностями, в том числе задачи из реальной жизни (с использованием калькулятора, цифровых технологий).

Темы содержания

  • Числа и вычисления
    А9.т1Рациональные числа, иррациональные числа, конечные и бесконечные десятичные дроби.
  • А9.т2Множество действительных чисел, действительные числа как бесконечные десятичные дроби.
  • А9.т3Взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и координатной прямой.
  • А9.т4Сравнение действительных чисел, арифметические действия с действительными числами.
  • А9.т5Размеры объектов окружающего мира, длительность процессов в окружающем мире.
  • А9.т6Приближённое значение величины, точность приближения.
  • А9.т7Округление чисел.
  • А9.т8Прикидка и оценка результатов вычислений.
  • Уравнения и неравенства
    А9.т9Линейное уравнение.
  • А9.т10Решение уравнений, сводящихся к линейным.
  • А9.т11Квадратное уравнение.
  • А9.т12Решение уравнений, сводящихся к квадратным.
  • А9.т13Биквадратное уравнение.
  • А9.т14Примеры решения уравнений третьей и четвёртой степеней разложением на множители.
  • А9.т15Решение дробно-рациональных уравнений.
  • А9.т16Решение текстовых задач алгебраическим методом.
  • А9.т17Уравнение с двумя переменными и его график.
  • А9.т18Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными.
  • А9.т19Решение систем двух уравнений, одно из которых линейное, а другое – второй степени.
  • А9.т20Графическая интерпретация системы уравнений с двумя переменными.
  • А9.т21Решение текстовых задач алгебраическим способом.
  • А9.т22Числовые неравенства и их свойства.
  • А9.т23Решение линейных неравенств с одной переменной.
  • А9.т24Решение систем линейных неравенств с одной переменной.
  • А9.т25Квадратные неравенства.
  • А9.т26Графическая интерпретация неравенств и систем неравенств с двумя переменными.
  • Функции
    А9.т27Квадратичная функция, её график и свойства.
  • А9.т28Парабола, координаты вершины параболы, ось симметрии параболы.
  • А9.т29Графики функций: y = kx, y = kx + b, y = k/x, y = x³, y = √x, y = |x|, и их свойства.
  • Числовые последовательности и прогрессии
    А9.т30Понятие числовой последовательности.
  • А9.т31Задание последовательности рекуррентной формулой и формулой n-го члена.
  • А9.т32Арифметическая и геометрическая прогрессии.
  • А9.т33Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов.
  • А9.т34Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий точками на координатной плоскости.
  • А9.т35Линейный и экспоненциальный рост.
  • А9.т36Сложные проценты.

Геометрия

7 класс

Предметные результаты

  • Г7.1Распознавать изученные геометрические фигуры, определять их взаимное расположение, изображать геометрические фигуры, выполнять чертежи по условию задачи. Измерять линейные и угловые величины. Решать задачи на вычисление длин отрезков и величин углов.
  • Г7.2Делать грубую оценку линейных и угловых величин предметов в реальной жизни, размеров природных объектов. Различать размеры этих объектов по порядку величины.
  • Г7.3Строить чертежи к геометрическим задачам.
  • Г7.4Пользоваться признаками равенства треугольников, использовать признаки и свойства равнобедренных треугольников при решении задач.
  • Г7.5Проводить логические рассуждения с использованием геометрических теорем.
  • Г7.6Пользоваться признаками равенства прямоугольных треугольников, свойством медианы, проведённой к гипотенузе прямоугольного треугольника, в решении геометрических задач.
  • Г7.7Определять параллельность прямых с помощью углов, которые образует с ними секущая. Определять параллельность прямых с помощью равенства расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.
  • Г7.8Решать задачи на клетчатой бумаге.
  • Г7.9Проводить вычисления и находить числовые и буквенные значения углов в геометрических задачах с использованием суммы углов треугольников и многоугольников, свойств углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. Решать практические задачи на нахождение углов.
  • Г7.10Владеть понятием геометрического места точек. Уметь определять биссектрису угла и серединный перпендикуляр к отрезку как геометрические места точек.
  • Г7.11Формулировать определения окружности и круга, хорды и диаметра окружности, пользоваться их свойствами. Уметь применять эти свойства при решении задач.
  • Г7.12Владеть понятием описанной около треугольника окружности, уметь находить её центр. Пользоваться фактами о том, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, и о том, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
  • Г7.13Владеть понятием касательной к окружности, пользоваться теоремой о перпендикулярности касательной и радиуса, проведённого к точке касания.
  • Г7.14Пользоваться простейшими геометрическими неравенствами, понимать их практический смысл.
  • Г7.15Проводить основные геометрические построения с помощью циркуля и линейки.

Темы содержания

  • Г7.т1Начальные понятия геометрии.
  • Г7.т2Точка, прямая, отрезок, луч.
  • Г7.т3Угол.
  • Г7.т4Виды углов.
  • Г7.т5Вертикальные и смежные углы.
  • Г7.т6Биссектриса угла.
  • Г7.т7Ломаная, многоугольник.
  • Г7.т8Параллельность и перпендикулярность прямых.
  • Г7.т9Симметричные фигуры.
  • Г7.т10Основные свойства осевой симметрии.
  • Г7.т11Примеры симметрии в окружающем мире.
  • Г7.т12Основные построения с помощью циркуля и линейки.
  • Г7.т13Треугольник.
  • Г7.т14Высота, медиана, биссектриса, их свойства.
  • Г7.т15Равнобедренный и равносторонний треугольники.
  • Г7.т16Неравенство треугольника.
  • Г7.т17Свойства и признаки равнобедренного треугольника.
  • Г7.т18Признаки равенства треугольников.
  • Г7.т19Свойства и признаки параллельных прямых.
  • Г7.т20Сумма углов треугольника.
  • Г7.т21Внешние углы треугольника.
  • Г7.т22Прямоугольный треугольник.
  • Г7.т23Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе.
  • Г7.т24Признаки равенства прямоугольных треугольников.
  • Г7.т25Прямоугольный треугольник с углом в 30°.
  • Г7.т26Неравенства в геометрии: неравенство треугольника, неравенство о длине ломаной, теорема о большем угле и большей стороне треугольника.
  • Г7.т27Перпендикуляр и наклонная.
  • Г7.т28Геометрическое место точек.
  • Г7.т29Биссектриса угла и серединный перпендикуляр к отрезку как геометрические места точек.
  • Г7.т30Окружность и круг, хорда и диаметр, их свойства.
  • Г7.т31Взаимное расположение окружности и прямой.
  • Г7.т32Касательная и секущая к окружности.
  • Г7.т33Окружность, вписанная в угол.
  • Г7.т34Вписанная и описанная окружности треугольника.
8 класс

Предметные результаты

  • Г8.1Распознавать основные виды четырёхугольников, их элементы, пользоваться их свойствами при решении геометрических задач.
  • Г8.2Применять свойства точки пересечения медиан треугольника (центра масс) в решении задач.
  • Г8.3Владеть понятием средней линии треугольника и трапеции, применять их свойства при решении геометрических задач. Пользоваться теоремой Фалеса и теоремой о пропорциональных отрезках, применять их для решения практических задач.
  • Г8.4Применять признаки подобия треугольников в решении геометрических задач.
  • Г8.5Пользоваться теоремой Пифагора для решения геометрических и практических задач. Строить математическую модель в практических задачах, самостоятельно делать чертёж и находить соответствующие длины.
  • Г8.6Владеть понятиями синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пользоваться этими понятиями для решения практических задач.
  • Г8.7Вычислять (различными способами) площадь треугольника и площади многоугольных фигур (пользуясь, где необходимо, калькулятором). Применять полученные умения в практических задачах.
  • Г8.8Владеть понятиями вписанного и центрального угла, использовать теоремы о вписанных углах, углах между хордами (секущими) и угле между касательной и хордой при решении геометрических задач.
  • Г8.9Владеть понятием описанного четырёхугольника, применять свойства описанного четырёхугольника при решении задач.
  • Г8.10Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрии (пользуясь, где необходимо, калькулятором).

Темы содержания

  • Г8.т1Четырёхугольники.
  • Г8.т2Параллелограмм, его признаки и свойства.
  • Г8.т3Частные случаи параллелограммов (прямоугольник, ромб, квадрат), их признаки и свойства.
  • Г8.т4Трапеция, равнобокая трапеция, её свойства и признаки.
  • Г8.т5Прямоугольная трапеция.
  • Г8.т6Метод удвоения медианы.
  • Г8.т7Центральная симметрия.
  • Г8.т8Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках.
  • Г8.т9Средние линии треугольника и трапеции.
  • Г8.т10Центр масс треугольника.
  • Г8.т11Подобие треугольников, коэффициент подобия.
  • Г8.т12Признаки подобия треугольников.
  • Г8.т13Применение подобия при решении практических задач.
  • Г8.т14Свойства площадей геометрических фигур.
  • Г8.т15Формулы для площади треугольника, параллелограмма, ромба и трапеции.
  • Г8.т16Отношение площадей подобных фигур.
  • Г8.т17Вычисление площадей треугольников и многоугольников на клетчатой бумаге.
  • Г8.т18Теорема Пифагора.
  • Г8.т19Применение теоремы Пифагора при решении практических задач.
  • Г8.т20Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
  • Г8.т21Основное тригонометрическое тождество.
  • Г8.т22Тригонометрические функции углов в 30°, 45° и 60°.
  • Г8.т23Вписанные и центральные углы, угол между касательной и хордой.
  • Г8.т24Углы между хордами и секущими.
  • Г8.т25Вписанные и описанные четырёхугольники.
  • Г8.т26Взаимное расположение двух окружностей.
  • Г8.т27Касание окружностей.
  • Г8.т28Общие касательные к двум окружностям.
9 класс

Предметные результаты

  • Г9.1Знать тригонометрические функции острых углов, находить с их помощью различные элементы прямоугольного треугольника («решение прямоугольных треугольников»). Находить (с помощью калькулятора) длины и углы для нетабличных значений.
  • Г9.2Пользоваться формулами приведения и основным тригонометрическим тождеством для нахождения соотношений между тригонометрическими величинами.
  • Г9.3Использовать теоремы синусов и косинусов для нахождения различных элементов треугольника («решение треугольников»), применять их при решении геометрических задач.
  • Г9.4Владеть понятиями преобразования подобия, соответственных элементов подобных фигур. Пользоваться свойствами подобия произвольных фигур, уметь вычислять длины и находить углы у подобных фигур. Применять свойства подобия в практических задачах. Уметь приводить примеры подобных фигур в окружающем мире.
  • Г9.5Пользоваться теоремами о произведении отрезков хорд, о произведении отрезков секущих, о квадрате касательной.
  • Г9.6Пользоваться векторами, понимать их геометрический и физический смысл, применять их в решении геометрических и физических задач. Применять скалярное произведение векторов для нахождения длин и углов.
  • Г9.7Пользоваться методом координат на плоскости, применять его в решении геометрических и практических задач.
  • Г9.8Владеть понятиями правильного многоугольника, длины окружности, длины дуги окружности и радианной меры угла, уметь вычислять площадь круга и его частей. Применять полученные умения в практических задачах.
  • Г9.9Находить оси (или центры) симметрии фигур, применять движения плоскости в простейших случаях.
  • Г9.10Применять полученные знания на практике – строить математические модели для задач реальной жизни и проводить соответствующие вычисления с применением подобия и тригонометрических функций (пользуясь, где необходимо, калькулятором).

Темы содержания

  • Г9.т1Синус, косинус, тангенс углов от 0 до 180°.
  • Г9.т2Основное тригонометрическое тождество.
  • Г9.т3Формулы приведения.
  • Г9.т4Решение треугольников.
  • Г9.т5Теорема косинусов и теорема синусов.
  • Г9.т6Решение практических задач с использованием теоремы косинусов и теоремы синусов.
  • Г9.т7Преобразование подобия.
  • Г9.т8Подобие соответственных элементов.
  • Г9.т9Теорема о произведении отрезков хорд, теоремы о произведении отрезков секущих, теорема о квадрате касательной.
  • Г9.т10Вектор, длина (модуль) вектора, сонаправленные векторы, противоположно направленные векторы, коллинеарность векторов, равенство векторов, операции над векторами.
  • Г9.т11Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
  • Г9.т12Координаты вектора.
  • Г9.т13Скалярное произведение векторов, применение для нахождения длин и углов.
  • Г9.т14Декартовы координаты на плоскости.
  • Г9.т15Уравнения прямой и окружности в координатах, пересечение окружностей и прямых.
  • Г9.т16Метод координат и его применение.
  • Г9.т17Правильные многоугольники.
  • Г9.т18Длина окружности.
  • Г9.т19Градусная и радианная мера угла, вычисление длин дуг окружностей.
  • Г9.т20Площадь круга, сектора, сегмента.
  • Г9.т21Движения плоскости и внутренние симметрии фигур (элементарные представления).
  • Г9.т22Параллельный перенос.
  • Г9.т23Поворот.

Вероятность и статистика

7 класс

Предметные результаты

  • В7.1Читать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, представлять данные в виде таблиц, строить диаграммы (столбиковые (столбчатые) и круговые) по массивам значений.
  • В7.2Описывать и интерпретировать реальные числовые данные, представленные в таблицах, на диаграммах, графиках.
  • В7.3Использовать для описания данных статистические характеристики: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах.
  • В7.4Иметь представление о случайной изменчивости на примерах цен, физических величин, антропометрических данных, иметь представление о статистической устойчивости.

Темы содержания

  • В7.т1Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков.
  • В7.т2Заполнение таблиц, чтение и построение диаграмм (столбиковых (столбчатых) и круговых).
  • В7.т3Чтение графиков реальных процессов.
  • В7.т4Извлечение информации из диаграмм и таблиц, использование и интерпретация данных.
  • В7.т5Описательная статистика: среднее арифметическое, медиана, размах, наибольшее и наименьшее значения набора числовых данных.
  • В7.т6Примеры случайной изменчивости.
  • В7.т7Случайный эксперимент (опыт) и случайное событие.
  • В7.т8Вероятность и частота.
  • В7.т9Роль маловероятных и практически достоверных событий в природе и в обществе.
  • В7.т10Монета и игральная кость в теории вероятностей.
  • В7.т11Граф, вершина, ребро.
  • В7.т12Степень вершины.
  • В7.т13Число рёбер и суммарная степень вершин.
  • В7.т14Представление о связности графа.
  • В7.т15Цепи и циклы.
  • В7.т16Пути в графах.
  • В7.т17Обход графа (эйлеров путь).
  • В7.т18Представление об ориентированном графе.
  • В7.т19Решение задач с помощью графов.
8 класс

Предметные результаты

  • В8.1Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.
  • В8.2Описывать данные с помощью статистических показателей: средних значений и мер рассеивания (размах, дисперсия и стандартное отклонение).
  • В8.3Находить частоты числовых значений и частоты событий, в том числе по результатам измерений и наблюдений.
  • В8.4Находить вероятности случайных событий в опытах, зная вероятности элементарных событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями.
  • В8.5Использовать графические модели: дерево случайного эксперимента, диаграммы Эйлера, числовая прямая.
  • В8.6Оперировать понятиями: множество, подмножество, выполнять операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение, перечислять элементы множеств, применять свойства множеств.
  • В8.7Использовать графическое представление множеств и связей между ними для описания процессов и явлений, в том числе при решении задач из других учебных предметов и курсов.

Темы содержания

  • В8.т1Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков.
  • В8.т2Множество, элемент множества, подмножество.
  • В8.т3Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение.
  • В8.т4Свойства операций над множествами: переместительное, сочетательное, распределительное, включения.
  • В8.т5Использование графического представления множеств для описания реальных процессов и явлений, при решении задач.
  • В8.т6Измерение рассеивания данных.
  • В8.т7Дисперсия и стандартное отклонение числовых наборов.
  • В8.т8Диаграмма рассеивания.
  • В8.т9Элементарные события случайного опыта.
  • В8.т10Случайные события.
  • В8.т11Вероятности событий.
  • В8.т12Опыты с равновозможными элементарными событиями.
  • В8.т13Случайный выбор.
  • В8.т14Связь между маловероятными и практически достоверными событиями в природе, обществе и науке.
  • В8.т15Дерево.
  • В8.т16Свойства деревьев: единственность пути, существование висячей вершины, связь между числом вершин и числом рёбер.
  • В8.т17Правило умножения.
  • В8.т18Решение задач с помощью графов.
  • В8.т19Противоположные события.
  • В8.т20Диаграмма Эйлера.
  • В8.т21Объединение и пересечение событий.
  • В8.т22Несовместные события.
  • В8.т23Формула сложения вероятностей.
  • В8.т24Условная вероятность.
  • В8.т25Правило умножения.
  • В8.т26Независимые события.
  • В8.т27Представление эксперимента в виде дерева.
  • В8.т28Решение задач на нахождение вероятностей с помощью дерева случайного эксперимента, диаграмм Эйлера.
9 класс

Предметные результаты

  • В9.1Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в различных источниках в виде таблиц, диаграмм, графиков, представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков.
  • В9.2Решать задачи организованным перебором вариантов, а также с использованием комбинаторных правил и методов.
  • В9.3Использовать описательные характеристики для массивов числовых данных, в том числе средние значения и меры рассеивания.
  • В9.4Находить частоты значений и частоты события, в том числе пользуясь результатами проведённых измерений и наблюдений.
  • В9.5Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями, в сериях испытаний до первого успеха, в сериях испытаний Бернулли.
  • В9.6Иметь представление о случайной величине и о распределении вероятностей.
  • В9.7Иметь представление о законе больших чисел как о проявлении закономерности в случайной изменчивости и о роли закона больших чисел в природе и обществе.

Темы содержания

  • В9.т1Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков, интерпретация данных.
  • В9.т2Чтение и построение таблиц, диаграмм, графиков по реальным данным.
  • В9.т3Перестановки и факториал.
  • В9.т4Сочетания и число сочетаний.
  • В9.т5Треугольник Паскаля.
  • В9.т6Решение задач с использованием комбинаторики.
  • В9.т7Геометрическая вероятность.
  • В9.т8Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка и из дуги окружности.
  • В9.т9Испытание.
  • В9.т10Успех и неудача.
  • В9.т11Серия испытаний до первого успеха.
  • В9.т12Серия испытаний Бернулли.
  • В9.т13Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.
  • В9.т14Случайная величина и распределение вероятностей.
  • В9.т15Математическое ожидание и дисперсия.
  • В9.т16Примеры математического ожидания как теоретического среднего значения величины.
  • В9.т17Математическое ожидание и дисперсия случайной величины «число успехов в серии испытаний Бернулли».
  • В9.т18Понятие о законе больших чисел.
  • В9.т19Измерение вероятностей с помощью частот.
  • В9.т20Роль и значение закона больших чисел в природе и обществе.

ФОП средней школы

Источник: федеральные рабочие программы «Математика. 10–11 классы» базового и углублённого уровня, редакция 2025 г., edsoo.ru. Коды: «А10.3» — базовый уровень, «А10у.3» — углублённый, «.т» — тема содержания.

Алгебра и начала математического анализа

10 класс — базовый уровень

Предметные результаты

  • Числа и вычисления
    А10.1Оперировать понятиями: рациональное и действительное число, обыкновенная и десятичная дробь, проценты.
  • А10.2Выполнять арифметические операции с рациональными и действительными числами.
  • А10.3Выполнять приближенные вычисления, используя правила округления, делать прикидку и оценку результата вычислений.
  • А10.4Оперировать понятиями: степень с целым показателем, стандартная форма записи действительного числа, корень натуральной степени, использовать подходящую форму записи действительных чисел для решения практических задач и представления данных.
  • А10.5Оперировать понятиями: синус, косинус и тангенс произвольного угла, использовать запись произвольного угла через обратные тригонометрические функции.
  • Уравнения и неравенства
    А10.6Оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство, целое, рациональное, иррациональное уравнение, неравенство, тригонометрическое уравнение.
  • А10.7Выполнять преобразования тригонометрических выражений и решать тригонометрические уравнения.
  • А10.8Выполнять преобразования целых, рациональных и иррациональных выражений и решать основные типы целых, рациональных и иррациональных уравнений и неравенств.
  • А10.9Применять уравнения и неравенства для решения математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни.
  • А10.10Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения, неравенства по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.
  • Функции и графики
    А10.11Оперировать понятиями: функция, способы задания функции, область определения и множество значений функции, график функции, взаимно обратные функции.
  • А10.12Оперировать понятиями: четность и нечетность функции, нули функции, промежутки знакопостоянства.
  • А10.13Использовать графики функций для решения уравнений.
  • А10.14Строить и читать графики линейной функции, квадратичной функции, степенной функции с целым показателем.
  • А10.15Использовать графики функций для исследования процессов и зависимостей при решении задач из других учебных предметов и реальной жизни, выражать формулами зависимости между величинами.
  • Начала математического анализа
    А10.16Оперировать понятиями: последовательность, арифметическая и геометрическая прогрессии.
  • А10.17Оперировать понятиями: бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
  • А10.18Задавать последовательности различными способами.
  • А10.19Использовать свойства последовательностей и прогрессий для решения реальных задач прикладного характера.
  • Множества и логика
    А10.20Оперировать понятиями: множество, операции над множествами.
  • А10.21Использовать теоретико-множественный аппарат для описания реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов.
  • А10.22Оперировать понятиями: определение, теорема, следствие, доказательство.

Темы содержания

  • Числа и вычисления
    А10.т1Рациональные числа.
  • А10.т2Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби.
  • А10.т3Арифметические операции с рациональными числами, преобразования числовых выражений.
  • А10.т4Применение дробей и процентов для решения прикладных задач из различных отраслей знаний и реальной жизни.
  • А10.т5Действительные числа.
  • А10.т6Рациональные и иррациональные числа.
  • А10.т7Арифметические операции с действительными числами.
  • А10.т8Приближенные вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений.
  • А10.т9Степень с целым показателем.
  • А10.т10Стандартная форма записи действительного числа.
  • А10.т11Использование подходящей формы записи действительных чисел для решения практических задач и представления данных.
  • А10.т12Арифметический корень натуральной степени.
  • А10.т13Действия с арифметическими корнями натуральной степени.
  • А10.т14Синус, косинус и тангенс числового аргумента.
  • А10.т15Арксинус, арккосинус, арктангенс числового аргумента.
  • Уравнения и неравенства
    А10.т16Тождества и тождественные преобразования.
  • А10.т17Преобразование тригонометрических выражений.
  • А10.т18Основные тригонометрические формулы.
  • А10.т19Уравнение, корень уравнения.
  • А10.т20Неравенство, решение неравенства.
  • А10.т21Метод интервалов.
  • А10.т22Решение целых и дробно-рациональных уравнений и неравенств.
  • А10.т23Решение иррациональных уравнений и неравенств.
  • А10.т24Решение тригонометрических уравнений.
  • А10.т25Применение уравнений и неравенств к решению математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни.
  • Функции и графики
    А10.т26Функция, способы задания функции.
  • А10.т27График функции.
  • А10.т28Взаимно обратные функции.
  • А10.т29Область определения и множество значений функции.
  • А10.т30Нули функции.
  • А10.т31Промежутки знакопостоянства.
  • А10.т32Четные и нечетные функции.
  • А10.т33Степенная функция с натуральным и целым показателем.
  • А10.т34Ее свойства и график.
  • А10.т35Свойства и график корня n-ой степени.
  • А10.т36Тригонометрическая окружность, определение тригонометрических функций числового аргумента.
  • Начала математического анализа
    А10.т37Последовательности, способы задания последовательностей.
  • А10.т38Монотонные последовательности.
  • А10.т39Арифметическая и геометрическая прогрессии.
  • А10.т40Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
  • А10.т41Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
  • А10.т42Формула сложных процентов.
  • А10.т43Использование прогрессии для решения реальных задач прикладного характера.
  • Множества и логика
    А10.т44Множество, операции над множествами.
  • А10.т45Диаграммы Эйлера–Венна.
  • А10.т46Применение теоретико-множественного аппарата для описания реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов.
  • А10.т47Определение, теорема, следствие, доказательство.
10 класс — углублённый уровень

Предметные результаты

  • Числа и вычисления
    А10у.1Свободно оперировать понятиями: рациональное число, бесконечная периодическая дробь, проценты, иррациональное число, множества рациональных и действительных чисел, модуль действительного числа.
  • А10у.2Применять дроби и проценты для решения прикладных задач из различных отраслей знаний и реальной жизни.
  • А10у.3Применять приближенные вычисления, правила округления, прикидку и оценку результата вычислений.
  • А10у.4Свободно оперировать понятием: степень с целым показателем, использовать подходящую форму записи действительных чисел для решения практических задач и представления данных.
  • А10у.5Свободно оперировать понятием: арифметический корень натуральной степени.
  • А10у.6Свободно оперировать понятием: степень с рациональным показателем.
  • А10у.7Свободно оперировать понятиями: логарифм числа, десятичные и натуральные логарифмы.
  • А10у.8Свободно оперировать понятиями: синус, косинус, тангенс, котангенс числового аргумента.
  • А10у.9Оперировать понятиями: арксинус, арккосинус и арктангенс числового аргумента.
  • Уравнения и неравенства
    А10у.10Свободно оперировать понятиями: тождество, уравнение, неравенство, равносильные уравнения и уравнения-следствия, равносильные неравенства.
  • А10у.11Применять различные методы решения рациональных и дробно-рациональных уравнений, применять метод интервалов для решения неравенств.
  • А10у.12Свободно оперировать понятиями: многочлен от одной переменной, многочлен с целыми коэффициентами, корни многочлена, применять деление многочлена на многочлен с остатком, теорему Безу и теорему Виета для решения задач.
  • А10у.13Свободно оперировать понятиями: система линейных уравнений, матрица, определитель матрицы 2 × 2 и его геометрический смысл, использовать свойства определителя 2 × 2 для вычисления его значения, применять определители для решения системы линейных уравнений, моделировать реальные ситуации с помощью системы линейных уравнений, исследовать построенные модели с помощью матриц и определителей, интерпретировать полученный результат.
  • А10у.14Использовать свойства действий с корнями для преобразования выражений.
  • А10у.15Выполнять преобразования числовых выражений, содержащих степени с рациональным показателем.
  • А10у.16Использовать свойства логарифмов для преобразования логарифмических выражений.
  • А10у.17Свободно оперировать понятиями: иррациональные, показательные и логарифмические уравнения, находить их решения с помощью равносильных переходов или осуществляя проверку корней.
  • А10у.18Применять основные тригонометрические формулы для преобразования тригонометрических выражений.
  • А10у.19Свободно оперировать понятием: тригонометрическое уравнение, применять необходимые формулы для решения основных типов тригонометрических уравнений.
  • А10у.20Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения, неравенства по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.
  • Функции и графики
    А10у.21Свободно оперировать понятиями: функция, способы задания функции, взаимно обратные функции, композиция функций, график функции, выполнять элементарные преобразования графиков функций.
  • А10у.22Свободно оперировать понятиями: область определения и множество значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства.
  • А10у.23Свободно оперировать понятиями: четные и нечетные функции, периодические функции, промежутки монотонности функции, максимумы и минимумы функции, наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.
  • А10у.24Свободно оперировать понятиями: степенная функция с натуральным и целым показателем, график степенной функции с натуральным и целым показателем, график корня n-ой степени как функции обратной степени с натуральным показателем.
  • А10у.25Оперировать понятиями: линейная, квадратичная и дробно-линейная функции, выполнять элементарное исследование и построение их графиков.
  • А10у.26Свободно оперировать понятиями: показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики, использовать их графики для решения уравнений.
  • А10у.27Свободно оперировать понятиями: тригонометрическая окружность, определение тригонометрических функций числового аргумента.
  • А10у.28Использовать графики функций для исследования процессов и зависимостей при решении задач из других учебных предметов и реальной жизни, выражать формулами зависимости между величинами.
  • Начала математического анализа
    А10у.29Свободно оперировать понятиями: арифметическая и геометрическая прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, линейный и экспоненциальный рост, формула сложных процентов, иметь представление о константе.
  • А10у.30Использовать прогрессии для решения реальных задач прикладного характера.
  • А10у.31Свободно оперировать понятиями: последовательность, способы задания последовательностей, монотонные и ограниченные последовательности, понимать основы зарождения математического анализа как анализа бесконечно малых.
  • А10у.32Свободно оперировать понятиями: непрерывные функции, точки разрыва графика функции, асимптоты графика функции.
  • А10у.33Свободно оперировать понятием: функция, непрерывная на отрезке, применять свойства непрерывных функций для решения задач.
  • А10у.34Свободно оперировать понятиями: первая и вторая производные функции, касательная к графику функции.
  • А10у.35Вычислять производные суммы, произведения, частного и композиции двух функций, знать производные элементарных функций.
  • А10у.36Использовать геометрический и физический смысл производной для решения задач.
  • Множества и логика
    А10у.37Свободно оперировать понятиями: множество, операции над множествами.
  • А10у.38Использовать теоретико-множественный аппарат для описания реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов.
  • А10у.39Свободно оперировать понятиями: определение, теорема, уравнение-следствие, свойство математического объекта, доказательство, равносильные уравнения и неравенства.

Темы содержания

  • Числа и вычисления
    А10у.т1Рациональные числа.
  • А10у.т2Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби.
  • А10у.т3Применение дробей и процентов для решения прикладных задач из различных отраслей знаний и реальной жизни.
  • А10у.т4Действительные числа.
  • А10у.т5Рациональные и иррациональные числа.
  • А10у.т6Арифметические операции с действительными числами.
  • А10у.т7Модуль действительного числа и его свойства.
  • А10у.т8Приближенные вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений.
  • А10у.т9Степень с целым показателем.
  • А10у.т10Бином Ньютона.
  • А10у.т11Использование подходящей формы записи действительных чисел для решения практических задач и представления данных.
  • А10у.т12Арифметический корень натуральной степени и его свойства.
  • А10у.т13Степень с рациональным показателем и ее свойства, степень с действительным показателем.
  • А10у.т14Логарифм числа.
  • А10у.т15Свойства логарифма.
  • А10у.т16Десятичные и натуральные логарифмы.
  • А10у.т17Синус, косинус, тангенс, котангенс числового аргумента.
  • А10у.т18Арксинус, арккосинус и арктангенс числового аргумента.
  • Уравнения и неравенства
    А10у.т19Тождества и тождественные преобразования.
  • А10у.т20Уравнение, корень уравнения.
  • А10у.т21Равносильные уравнения и уравнения-следствия.
  • А10у.т22Неравенство, решение неравенства.
  • А10у.т23Основные методы решения целых и дробно-рациональных уравнений и неравенств.
  • А10у.т24Многочлены от одной переменной.
  • А10у.т25Деление многочлена на многочлен с остатком.
  • А10у.т26Теорема Безу.
  • А10у.т27Многочлены с целыми коэффициентами.
  • А10у.т28Теорема Виета.
  • А10у.т29Преобразования числовых выражений, содержащих степени и корни.
  • А10у.т30Иррациональные уравнения.
  • А10у.т31Основные методы решения иррациональных уравнений.
  • А10у.т32Показательные уравнения.
  • А10у.т33Основные методы решения показательных уравнений.
  • А10у.т34Преобразование выражений, содержащих логарифмы.
  • А10у.т35Логарифмические уравнения.
  • А10у.т36Основные методы решения логарифмических уравнений.
  • А10у.т37Основные тригонометрические формулы.
  • А10у.т38Преобразование тригонометрических выражений.
  • А10у.т39Решение тригонометрических уравнений.
  • А10у.т40Решение систем линейных уравнений.
  • А10у.т41Матрица системы линейных уравнений.
  • А10у.т42Определитель матрицы 2×2, его геометрический смысл и свойства, вычисление его значения, применение определителя для решения системы линейных уравнений.
  • А10у.т43Решение прикладных задач с помощью системы линейных уравнений.
  • А10у.т44Исследование построенной модели с помощью матриц и определителей.
  • А10у.т45Построение математических моделей реальной ситуации с помощью уравнений и неравенств.
  • А10у.т46Применение уравнений и неравенств к решению математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни.
  • Функции и графики
    А10у.т47Функция, способы задания функции.
  • А10у.т48Взаимно обратные функции.
  • А10у.т49Композиция функций.
  • А10у.т50График функции.
  • А10у.т51Элементарные преобразования графиков функций.
  • А10у.т52Область определения и множество значений функции.
  • А10у.т53Нули функции.
  • А10у.т54Промежутки знакопостоянства.
  • А10у.т55Четные и нечетные функции.
  • А10у.т56Периодические функции.
  • А10у.т57Промежутки монотонности функции.
  • А10у.т58Максимумы и минимумы функции.
  • А10у.т59Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.
  • А10у.т60Линейная, квадратичная и дробно-линейная функции.
  • А10у.т61Элементарное исследование и построение их графиков.
  • А10у.т62Степенная функция с натуральным и целым показателем.
  • А10у.т63Ее свойства и график.
  • А10у.т64Свойства и график корня n-ой степени как функции обратной степени с натуральным показателем.
  • А10у.т65Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики.
  • А10у.т66Использование графиков функций для решения уравнений.
  • А10у.т67Тригонометрическая окружность, определение тригонометрических функций числового аргумента.
  • А10у.т68Функциональные зависимости в реальных процессах и явлениях.
  • А10у.т69Графики реальных зависимостей.
  • Начала математического анализа
    А10у.т70Последовательности, способы задания последовательностей.
  • А10у.т71Метод математической индукции.
  • А10у.т72Монотонные и ограниченные последовательности.
  • А10у.т73История возникновения математического анализа как анализа бесконечно малых.
  • А10у.т74Арифметическая и геометрическая прогрессии.
  • А10у.т75Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
  • А10у.т76Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
  • А10у.т77Линейный и экспоненциальный рост.
  • А10у.т78Число е.
  • А10у.т79Формула сложных процентов.
  • А10у.т80Использование прогрессии для решения реальных задач прикладного характера.
  • А10у.т81Непрерывные функции и их свойства.
  • А10у.т82Точки разрыва.
  • А10у.т83Асимптоты графиков функций.
  • А10у.т84Свойства функций непрерывных на отрезке.
  • А10у.т85Метод интервалов для решения неравенств.
  • А10у.т86Применение свойств непрерывных функций для решения задач.
  • А10у.т87Первая и вторая производные функции.
  • А10у.т88Определение, геометрический и физический смысл производной.
  • А10у.т89Уравнение касательной к графику функции.
  • А10у.т90Производные элементарных функций.
  • А10у.т91Производная суммы, произведения, частного и композиции функций.
  • Множества и логика
    А10у.т92Множество, операции над множествами и их свойства.
  • А10у.т93Диаграммы Эйлера– Венна.
  • А10у.т94Применение теоретико-множественного аппарата для описания реальных процессов и явлений, при решении задач из других учебных предметов.
  • А10у.т95Определение, теорема, свойство математического объекта, следствие, доказательство, равносильные уравнения.
11 класс — базовый уровень

Предметные результаты

  • Числа и вычисления
    А11.1Оперировать понятиями: натуральное, целое число, использовать признаки делимости целых чисел, разложение числа на простые множители для решения задач.
  • А11.2Оперировать понятием: степень с рациональным показателем.
  • А11.3Оперировать понятиями: логарифм числа, десятичные и натуральные логарифмы.
  • Уравнения и неравенства
    А11.4Применять свойства степени для преобразования выражений, оперировать понятиями: показательное уравнение и неравенство, решать основные типы показательных уравнений и неравенств.
  • А11.5Выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы, оперировать понятиями: логарифмическое уравнение и неравенство, решать основные типы логарифмических уравнений и неравенств.
  • А11.6Находить решения простейших тригонометрических неравенств.
  • А11.7Оперировать понятиями: система линейных уравнений и ее решение, использовать систему линейных уравнений для решения практических задач.
  • А11.8Находить решения простейших систем и совокупностей рациональных уравнений и неравенств.
  • А11.9Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения, неравенства и системы по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.
  • Функции и графики
    А11.10Оперировать понятиями: периодическая функция, промежутки монотонности функции, точки экстремума функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, использовать их для исследования функции, заданной графиком.
  • А11.11Оперировать понятиями: графики показательной, логарифмической и тригонометрических функций, изображать их на координатной плоскости и использовать для решения уравнений и неравенств.
  • А11.12Изображать на координатной плоскости графики линейных уравнений и использовать их для решения системы линейных уравнений.
  • А11.13Использовать графики функций для исследования процессов и зависимостей из других учебных дисциплин.
  • Начала математического анализа
    А11.14Оперировать понятиями: непрерывная функция, производная функции, использовать геометрический и физический смысл производной для решения задач.
  • А11.15Находить производные элементарных функций, вычислять производные суммы, произведения, частного функций.
  • А11.16Использовать производную для исследования функции на монотонность и экстремумы, применять результаты исследования к построению графиков.
  • А11.17Использовать производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах.
  • А11.18Оперировать понятиями: первообразная и интеграл, понимать геометрический и физический смысл интеграла.
  • А11.19Находить первообразные элементарных функций, вычислять интеграл по формуле Ньютона–Лейбница.
  • А11.20Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера, средствами математического анализа.

Темы содержания

  • Числа и вычисления
    А11.т1Натуральные и целые числа.
  • А11.т2Признаки делимости целых чисел.
  • А11.т3Степень с рациональным показателем.
  • А11.т4Свойства степени.
  • А11.т5Логарифм числа.
  • А11.т6Десятичные и натуральные логарифмы.
  • Уравнения и неравенства
    А11.т7Преобразование выражений, содержащих логарифмы.
  • А11.т8Преобразование выражений, содержащих степени с рациональным показателем.
  • А11.т9Примеры тригонометрических неравенств.
  • А11.т10Показательные уравнения и неравенства.
  • А11.т11Логарифмические уравнения и неравенства.
  • А11.т12Системы линейных уравнений.
  • А11.т13Решение прикладных задач с помощью системы линейных уравнений.
  • А11.т14Системы и совокупности рациональных уравнений и неравенств.
  • А11.т15Применение уравнений, систем и неравенств к решению математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни.
  • Функции и графики
    А11.т16Функция.
  • А11.т17Периодические функции.
  • А11.т18Промежутки монотонности функции.
  • А11.т19Максимумы и минимумы функции.
  • А11.т20Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.
  • А11.т21Тригонометрические функции, их свойства и графики.
  • А11.т22Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики.
  • А11.т23Использование графиков функций для решения уравнений и линейных систем.
  • А11.т24Использование графиков функций для исследования процессов и зависимостей, которые возникают при решении задач из других учебных предметов и реальной жизни.
  • Начала математического анализа
    А11.т25Непрерывные функции.
  • А11.т26Метод интервалов для решения неравенств.
  • А11.т27Производная функции.
  • А11.т28Геометрический и физический смысл производной.
  • А11.т29Производные элементарных функций.
  • А11.т30Формулы нахождения производной суммы, произведения и частного функций.
  • А11.т31Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы.
  • А11.т32Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
  • А11.т33Применение производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах, для определения скорости процесса, заданного формулой или графиком.
  • А11.т34Первообразная.
  • А11.т35Таблица первообразных.
  • А11.т36Интеграл, его геометрический и физический смысл.
  • А11.т37Вычисление интеграла по формуле Ньютона–Лейбница.
11 класс — углублённый уровень

Предметные результаты

  • Числа и вычисления
    А11у.1Свободно оперировать понятиями: натуральное и целое число, множества натуральных и целых чисел, использовать признаки делимости целых чисел, НОД и НОК натуральных чисел для решения задач, применять алгоритм Евклида.
  • А11у.2Свободно оперировать понятием остатка по модулю, записывать натуральные числа в различных позиционных системах счисления.
  • А11у.3Свободно оперировать понятиями: комплексное число и множество комплексных чисел, представлять комплексные числа в алгебраической и тригонометрической форме, выполнять арифметические операции с ними и изображать на координатной плоскости.
  • Уравнения и неравенства
    А11у.4Свободно оперировать понятиями: иррациональные, показательные и логарифмические неравенства, находить их решения с помощью равносильных переходов.
  • А11у.5Осуществлять отбор корней при решении тригонометрического уравнения.
  • А11у.6Свободно оперировать понятием тригонометрическое неравенство, применять необходимые формулы для решения основных типов тригонометрических неравенств.
  • А11у.7Свободно оперировать понятиями: система и совокупность уравнений и неравенств, равносильные системы и системы-следствия, находить решения системы и совокупностей рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
  • А11у.8Решать рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства, содержащие модули и параметры.
  • А11у.9Применять графические методы для решения уравнений и неравенств, а также задач с параметрами.
  • А11у.10Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры, интерпретировать полученный результат.
  • Функции и графики
    А11у.11Строить графики композиции функций с помощью элементарного исследования и свойств композиции двух функций.
  • А11у.12Строить геометрические образы уравнений и неравенств на координатной плоскости.
  • А11у.13Свободно оперировать понятиями: графики тригонометрических функций.
  • А11у.14Применять функции для моделирования и исследования реальных процессов.
  • Начала математического анализа
    А11у.15Использовать производную для исследования функции на монотонность и экстремумы.
  • А11у.16Находить наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной на отрезке.
  • А11у.17Использовать производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических, задачах, для определения скорости и ускорения процесса, заданного формулой или графиком.
  • А11у.18Свободно оперировать понятиями: первообразная, определенный интеграл, находить первообразные элементарных функций и вычислять интеграл по формуле Ньютона–Лейбница.
  • А11у.19Находить площади плоских фигур и объемы тел с помощью интеграла.
  • А11у.20Иметь представление о математическом моделировании на примере составления дифференциальных уравнений.
  • А11у.21Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера, средствами математического анализа.

Темы содержания

  • Числа и вычисления
    А11у.т1Натуральные и целые числа.
  • А11у.т2Применение признаков делимости целых чисел, наибольший общий делитель (далее – НОД) и наименьшее общее кратное (далее – НОК), остатков по модулю, алгоритма Евклида для решения задач в целых числах.
  • А11у.т3Комплексные числа.
  • А11у.т4Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа.
  • А11у.т5Арифметические операции с комплексными числами.
  • А11у.т6Изображение комплексных чисел на координатной плоскости.
  • А11у.т7Формула Муавра.
  • А11у.т8Корни n-ой степени из комплексного числа.
  • А11у.т9Применение комплексных чисел для решения физических и геометрических задач.
  • Уравнения и неравенства
    А11у.т10Система и совокупность уравнений и неравенств.
  • А11у.т11Равносильные системы и системы-следствия.
  • А11у.т12Равносильные неравенства.
  • А11у.т13Отбор корней тригонометрических уравнений с помощью тригонометрической окружности.
  • А11у.т14Решение тригонометрических неравенств.
  • А11у.т15Основные методы решения показательных и логарифмических неравенств.
  • А11у.т16Основные методы решения иррациональных неравенств.
  • А11у.т17Основные методы решения систем и совокупностей рациональных, иррациональных, показательных и логарифмических уравнений.
  • А11у.т18Уравнения, неравенства и системы с параметрами.
  • А11у.т19Применение уравнений, систем и неравенств к решению математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни, интерпретация полученных результатов.
  • Функции и графики
    А11у.т20График композиции функций.
  • А11у.т21Геометрические образы уравнений и неравенств на координатной плоскости.
  • А11у.т22Тригонометрические функции, их свойства и графики.
  • А11у.т23Графические методы решения уравнений и неравенств.
  • А11у.т24Графические методы решения задач с параметрами.
  • А11у.т25Использование графиков функций для исследования процессов и зависимостей, которые возникают при решении задач из других учебных предметов и реальной жизни.
  • Начала математического анализа
    А11у.т26Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы.
  • А11у.т27Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.
  • А11у.т28Применение производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах, для определения скорости и ускорения процесса, заданного формулой или графиком.
  • А11у.т29Первообразная, основное свойство первообразных.
  • А11у.т30Первообразные элементарных функций.
  • А11у.т31Правила нахождения первообразных.
  • А11у.т32Интеграл.
  • А11у.т33Геометрический смысл интеграла.
  • А11у.т34Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница.
  • А11у.т35Применение интеграла для нахождения площадей плоских фигур и объемов геометрических тел.
  • А11у.т36Примеры решений дифференциальных уравнений.
  • А11у.т37Математическое моделирование реальных процессов с помощью дифференциальных уравнений.

Геометрия

10 класс — базовый уровень

Предметные результаты

  • Г10.1Оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость.
  • Г10.2Применять аксиомы стереометрии и следствия из них при решении геометрических задач.
  • Г10.3Оперировать понятиями: параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей.
  • Г10.4Классифицировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
  • Г10.5Оперировать понятиями: двугранный угол, грани двугранного угла, ребро двугранного угла, линейный угол двугранного угла, градусная мера двугранного угла.
  • Г10.6Оперировать понятиями: многогранник, выпуклый и невыпуклый многогранник, элементы многогранника, правильный многогранник.
  • Г10.7Распознавать основные виды многогранников (пирамида, призма, прямоугольный параллелепипед, куб).
  • Г10.8Классифицировать многогранники, выбирая основания для классификации (выпуклые и невыпуклые многогранники, правильные многогранники, прямые и наклонные призмы, параллелепипеды).
  • Г10.9Оперировать понятиями: секущая плоскость, сечение многогранников.
  • Г10.10Объяснять принципы построения сечений, используя метод следов.
  • Г10.11Строить сечения многогранников методом следов, выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых объемных фигур: вид сверху, сбоку, снизу.
  • Г10.12Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам, применяя известные аналитические методы при решении стандартных математических задач на вычисление расстояний между двумя точками, от точки до прямой, от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми.
  • Г10.13Решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам, применяя известные аналитические методы при решении стандартных математических задач на вычисление углов между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями, двугранных углов.
  • Г10.14Вычислять объемы и площади поверхностей многогранников (призма, пирамида) с применением формул, вычислять соотношения между площадями поверхностей, объемами подобных многогранников.
  • Г10.15Оперировать понятиями: симметрия в пространстве, центр, ось и плоскость симметрии, центр, ось и плоскость симметрии фигуры.
  • Г10.16Извлекать, преобразовывать и интерпретировать информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах и рисунках.
  • Г10.17Применять геометрические факты для решения стереометрических задач, предполагающих несколько шагов решения, если условия применения заданы в явной форме.
  • Г10.18Применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении стереометрических задач.
  • Г10.19Приводить примеры математических закономерностей в природе и жизни, распознавать проявление законов геометрии в искусстве.
  • Г10.20Применять полученные знания на практике: анализировать реальные ситуации и применять изученные понятия в процессе поиска решения математически сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.

Темы содержания

  • Прямые и плоскости в пространстве
    Г10.т1Основные понятия стереометрии.
  • Г10.т2Точка, прямая, плоскость, пространство.
  • Г10.т3Понятие об аксиоматическом построении стереометрии: аксиомы стереометрии и следствия из них.
  • Г10.т4Взаимное расположение прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые.
  • Г10.т5Параллельность прямых и плоскостей в пространстве: параллельные прямые в пространстве, параллельность трех прямых, параллельность прямой и плоскости.
  • Г10.т6Углы с сонаправленными сторонами, угол между прямыми в пространстве.
  • Г10.т7Параллельность плоскостей: параллельные плоскости, свойства параллельных плоскостей.
  • Г10.т8Простейшие пространственные фигуры на плоскости: тетраэдр, куб, параллелепипед, построение сечений.
  • Г10.т9Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикулярные прямые в пространстве, прямые параллельные и перпендикулярные к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о прямой перпендикулярной плоскости.
  • Г10.т10Углы в пространстве: угол между прямой и плоскостью, двугранный угол, линейный угол двугранного угла.
  • Г10.т11Перпендикуляр и наклонные: расстояние от точки до плоскости, расстояние от прямой до плоскости, проекция фигуры на плоскость.
  • Г10.т12Перпендикулярность плоскостей: признак перпендикулярности двух плоскостей.
  • Г10.т13Теорема о трех перпендикулярах.
  • Многогранники
    Г10.т14Понятие многогранника, основные элементы многогранника, выпуклые и невыпуклые многогранники, развертка многогранника.
  • Г10.т15Призма: n-угольная призма, грани и основания призмы, прямая и наклонная призмы, боковая и полная поверхность призмы.
  • Г10.т16Параллелепипед, прямоугольный параллелепипед и его свойства.
  • Г10.т17Пирамида: n-угольная пирамида, грани и основание пирамиды, боковая и полная поверхность пирамиды, правильная и усеченная пирамида.
  • Г10.т18Элементы призмы и пирамиды.
  • Г10.т19Правильные многогранники: понятие правильного многогранника, правильная призма и правильная пирамида, правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр, куб.
  • Г10.т20Представление о правильных многогранниках: октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
  • Г10.т21Сечения призмы и пирамиды.
  • Г10.т22Симметрия в пространстве: симметрия относительно точки, прямой, плоскости.
  • Г10.т23Элементы симметрии в пирамидах, параллелепипедах, правильных многогранниках.
  • Г10.т24Вычисление элементов многогранников: ребра, диагонали, углы.
  • Г10.т25Площадь боковой поверхности и полной поверхности прямой призмы, площадь оснований, теорема о боковой поверхности прямой призмы.
  • Г10.т26Площадь боковой поверхности и поверхности правильной пирамиды, теорема о площади усеченной пирамиды.
  • Г10.т27Понятие об объеме.
  • Г10.т28Объем пирамиды, призмы.
  • Г10.т29Подобные тела в пространстве.
  • Г10.т30Соотношения между площадями поверхностей, объемами подобных тел.
10 класс — углублённый уровень

Предметные результаты

  • Г10у.1Свободно оперировать основными понятиями стереометрии при решении задач и проведении математических рассуждений.
  • Г10у.2Применять аксиомы стереометрии и следствия из них при решении геометрических задач.
  • Г10у.3Классифицировать взаимное расположение прямых в пространстве, плоскостей в пространстве, прямых и плоскостей в пространстве.
  • Г10у.4Свободно оперировать понятиями, связанными с углами в пространстве: между прямыми в пространстве, между прямой и плоскостью.
  • Г10у.5Свободно оперировать понятиями, связанными с многогранниками.
  • Г10у.6Свободно распознавать основные виды многогранников (призма, пирамида, прямоугольный параллелепипед, куб).
  • Г10у.7Классифицировать многогранники, выбирая основания для классификации.
  • Г10у.8Свободно оперировать понятиями, связанными с сечением многогранников плоскостью.
  • Г10у.9Выполнять параллельное, центральное и ортогональное проектирование фигур на плоскость, выполнять изображения фигур на плоскости.
  • Г10у.10Строить сечения многогранников различными методами, выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых объемных фигур: вид сверху, сбоку, снизу.
  • Г10у.11Вычислять площади поверхностей многогранников (призма, пирамида), геометрических тел с применением формул.
  • Г10у.12Свободно оперировать понятиями: симметрия в пространстве, центр, ось и плоскость симметрии, центр, ось и плоскость симметрии фигуры.
  • Г10у.13Свободно оперировать понятиями, соответствующими векторам и координатам в пространстве.
  • Г10у.14Выполнять действия над векторами.
  • Г10у.15Решать задачи на доказательство математических отношений и нахождение геометрических величин, применяя известные методы при решении математических задач повышенного и высокого уровня сложности.
  • Г10у.16Применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении стереометрических задач.
  • Г10у.17Извлекать, преобразовывать и интерпретировать информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах и рисунках.
  • Г10у.18Применять полученные знания на практике: сравнивать и анализировать реальные ситуации, применять изученные понятия в процессе поиска решения математически сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.
  • Г10у.19Иметь представления об основных этапах развития геометрии как составной части фундамента развития технологий.

Темы содержания

  • Прямые и плоскости в пространстве
    Г10у.т1Основные понятия стереометрии.
  • Г10у.т2Точка, прямая, плоскость, пространство.
  • Г10у.т3Понятие об аксиоматическом построении стереометрии: аксиомы стереометрии и следствия из них.
  • Г10у.т4Взаимное расположение прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые.
  • Г10у.т5Признаки скрещивающихся прямых.
  • Г10у.т6Параллельность прямых и плоскостей в пространстве: параллельные прямые в пространстве, параллельность трех прямых, параллельность прямой и плоскости.
  • Г10у.т7Параллельное и центральное проектирование, изображение фигур.
  • Г10у.т8Основные свойства параллельного проектирования.
  • Г10у.т9Изображение фигур в параллельной проекции.
  • Г10у.т10Углы с сонаправленными сторонами, угол между прямыми в пространстве.
  • Г10у.т11Параллельность плоскостей: параллельные плоскости, свойства параллельных плоскостей.
  • Г10у.т12Простейшие пространственные фигуры на плоскости: тетраэдр, параллелепипед, построение сечений.
  • Г10у.т13Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикулярные прямые в пространстве, прямые параллельные и перпендикулярные к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о прямой перпендикулярной плоскости.
  • Г10у.т14Ортогональное проектирование.
  • Г10у.т15Перпендикуляр и наклонные: расстояние от точки до плоскости, расстояние от прямой до плоскости, проекция фигуры на плоскость.
  • Г10у.т16Перпендикулярность плоскостей: признак перпендикулярности двух плоскостей.
  • Г10у.т17Теорема о трех перпендикулярах.
  • Г10у.т18Углы в пространстве: угол между прямой и плоскостью, двугранный угол, линейный угол двугранного угла.
  • Г10у.т19Трехгранный и многогранные углы.
  • Г10у.т20Свойства плоских углов многогранного угла.
  • Г10у.т21Свойства плоских и двугранных углов трехгранного угла.
  • Г10у.т22Теоремы косинусов и синусов для трехгранного угла.
  • Многогранники
    Г10у.т23Виды многогранников, развертка многогранника.
  • Г10у.т24Призма: n-угольная призма, прямая и наклонная призмы, боковая и полная поверхность призмы.
  • Г10у.т25Параллелепипед, прямоугольный параллелепипед и его свойства.
  • Г10у.т26Кратчайшие пути на поверхности многогранника.
  • Г10у.т27Теорема Эйлера.
  • Г10у.т28Пространственная теорема Пифагора.
  • Г10у.т29Пирамида: n-угольная пирамида, правильная и усеченная пирамиды.
  • Г10у.т30Свойства ребер и боковых граней правильной пирамиды.
  • Г10у.т31Правильные многогранники: правильная призма и правильная пирамида, правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр, куб.
  • Г10у.т32Представление о правильных многогранниках: октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
  • Г10у.т33Вычисление элементов многогранников: ребра, диагонали, углы.
  • Г10у.т34Площадь боковой поверхности и полной поверхности прямой призмы, площадь оснований, теорема о боковой поверхности прямой призмы.
  • Г10у.т35Площадь боковой поверхности и поверхности правильной пирамиды, теорема о площади усеченной пирамиды.
  • Г10у.т36Симметрия в пространстве.
  • Г10у.т37Элементы симметрии правильных многогранников.
  • Г10у.т38Симметрия в правильном многограннике: симметрия параллелепипеда, симметрия правильных призм, симметрия правильной пирамиды.
  • Векторы и координаты в пространстве
    Г10у.т39Понятия: вектор в пространстве, нулевой вектор, длина ненулевого вектора, векторы коллинеарные, сонаправленные и противоположно направленные векторы.
  • Г10у.т40Равенство векторов.
  • Г10у.т41Действия с векторами: сложение и вычитание векторов, сумма нескольких векторов, умножение вектора на число.
  • Г10у.т42Свойства сложения векторов.
  • Г10у.т43Свойства умножения вектора на число.
  • Г10у.т44Понятие компланарные векторы.
  • Г10у.т45Признак компланарности трех векторов.
  • Г10у.т46Правило параллелепипеда.
  • Г10у.т47Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.
  • Г10у.т48Прямоугольная система координат в пространстве.
  • Г10у.т49Координаты вектора.
  • Г10у.т50Связь между координатами вектора и координатами точек.
  • Г10у.т51Угол между векторами.
  • Г10у.т52Скалярное произведение векторов.
11 класс — базовый уровень

Предметные результаты

  • Г11.1Оперировать понятиями: цилиндрическая поверхность, образующие цилиндрической поверхности, цилиндр, коническая поверхность, образующие конической поверхности, конус, сферическая поверхность.
  • Г11.2Распознавать тела вращения (цилиндр, конус, сфера и шар).
  • Г11.3Объяснять способы получения тел вращения.
  • Г11.4Классифицировать взаимное расположение сферы и плоскости.
  • Г11.5Оперировать понятиями: шаровой сегмент, основание сегмента, высота сегмента, шаровой слой, основание шарового слоя, высота шарового слоя, шаровой сектор.
  • Г11.6Вычислять объемы и площади поверхностей тел вращения, геометрических тел с применением формул.
  • Г11.7Оперировать понятиями: многогранник, вписанный в сферу и описанный около сферы, сфера, вписанная в многогранник или тело вращения.
  • Г11.8Вычислять соотношения между площадями поверхностей и объемами подобных тел.
  • Г11.9Изображать изучаемые фигуры от руки и с применением простых чертежных инструментов.
  • Г11.10Выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых объемных фигур: вид сверху, сбоку, снизу, строить сечения тел вращения.
  • Г11.11Извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах и рисунках.
  • Г11.12Оперировать понятием вектор в пространстве.
  • Г11.13Выполнять действия сложения векторов, вычитания векторов и умножения вектора на число, объяснять, какими свойствами они обладают.
  • Г11.14Применять правило параллелепипеда.
  • Г11.15Оперировать понятиями: декартовы координаты в пространстве, вектор, модуль вектора, равенство векторов, координаты вектора, угол между векторами, скалярное произведение векторов, коллинеарные и компланарные векторы.
  • Г11.16Находить сумму векторов и произведение вектора на число, угол между векторами, скалярное произведение, раскладывать вектор по двум неколлинеарным векторам.
  • Г11.17Задавать плоскость уравнением в декартовой системе координат.
  • Г11.18Применять геометрические факты для решения стереометрических задач, предполагающих несколько шагов решения, если условия применения заданы в явной форме.
  • Г11.19Решать простейшие геометрические задачи на применение векторно-координатного метода.
  • Г11.20Решать задачи на доказательство математических отношений и нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам, применяя известные методы при решении стандартных математических задач.
  • Г11.21Применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении стереометрических задач.
  • Г11.22Приводить примеры математических закономерностей в природе и жизни, распознавать проявление законов геометрии в искусстве.
  • Г11.23Применять полученные знания на практике: анализировать реальные ситуации и применять изученные понятия в процессе поиска решения математически сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.

Темы содержания

  • Тела вращения
    Г11.т1Цилиндрическая поверхность, образующие цилиндрической поверхности, ось цилиндрической поверхности.
  • Г11.т2Цилиндр: основания и боковая поверхность, образующая и ось, площадь боковой и полной поверхности.
  • Г11.т3Коническая поверхность, образующие конической поверхности, ось и вершина конической поверхности.
  • Г11.т4Конус: основание и вершина, образующая и ось, площадь боковой и полной поверхности.
  • Г11.т5Усеченный конус: образующие и высота, основания и боковая поверхность.
  • Г11.т6Сфера и шар: центр, радиус, диаметр, площадь поверхности сферы.
  • Г11.т7Взаимное расположение сферы и плоскости, касательная плоскость к сфере, площадь сферы.
  • Г11.т8Изображение тел вращения на плоскости.
  • Г11.т9Развертка цилиндра и конуса.
  • Г11.т10Комбинации тел вращения и многогранников.
  • Г11.т11Многогранник, описанный около сферы, сфера, вписанная в многогранник, или тело вращения.
  • Г11.т12Понятие об объеме.
  • Г11.т13Основные свойства объемов тел.
  • Г11.т14Теорема об объеме прямоугольного параллелепипеда и следствия из нее.
  • Г11.т15Объем цилиндра, конуса.
  • Г11.т16Объем шара и площадь сферы.
  • Г11.т17Подобные тела в пространстве.
  • Г11.т18Соотношения между площадями поверхностей, объемами подобных тел.
  • Г11.т19Сечения цилиндра (параллельно и перпендикулярно оси), сечения конуса (параллельное основанию и проходящее через вершину), сечения шара.
  • Векторы и координаты в пространстве
    Г11.т20Вектор на плоскости и в пространстве.
  • Г11.т21Сложение и вычитание векторов.
  • Г11.т22Умножение вектора на число.
  • Г11.т23Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
  • Г11.т24Правило параллелепипеда.
  • Г11.т25Решение задач, связанных с применением правил действий с векторами.
  • Г11.т26Прямоугольная система координат в пространстве.
  • Г11.т27Координаты вектора.
  • Г11.т28Простейшие задачи в координатах.
  • Г11.т29Угол между векторами.
  • Г11.т30Скалярное произведение векторов.
  • Г11.т31Вычисление углов между прямыми и плоскостями.
  • Г11.т32Координатно-векторный метод при решении геометрических задач.
11 класс — углублённый уровень

Предметные результаты

  • Г11у.1Свободно оперировать понятиями, связанными с цилиндрической, конической и сферической поверхностями, объяснять способы получения.
  • Г11у.2Оперировать понятиями, связанными с телами вращения: цилиндром, конусом, сферой и шаром.
  • Г11у.3Распознавать тела вращения (цилиндр, конус, сфера и шар) и объяснять способы получения тел вращения.
  • Г11у.4Классифицировать взаимное расположение сферы и плоскости.
  • Г11у.5Вычислять величины элементов многогранников и тел вращения, объемы и площади поверхностей многогранников и тел вращения, геометрических тел с применением формул.
  • Г11у.6Свободно оперировать понятиями, связанными с комбинациями тел вращения и многогранников: многогранник, вписанный в сферу и описанный около сферы, сфера, вписанная в многогранник или тело вращения.
  • Г11у.7Вычислять соотношения между площадями поверхностей и объемами подобных тел.
  • Г11у.8Изображать изучаемые фигуры, выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых объемных фигур: вид сверху, сбоку, снизу, строить сечения тел вращения.
  • Г11у.9Извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах и рисунках.
  • Г11у.10Свободно оперировать понятием вектор в пространстве.
  • Г11у.11Выполнять операции над векторами.
  • Г11у.12Задавать плоскость уравнением в декартовой системе координат.
  • Г11у.13Решать геометрические задачи на вычисление углов между прямыми и плоскостями, вычисление расстояний от точки до плоскости, в целом, на применение векторно-координатного метода при решении.
  • Г11у.14Свободно оперировать понятиями, связанными с движением в пространстве, знать свойства движений.
  • Г11у.15Выполнять изображения многогранником и тел вращения при параллельном переносе, центральной симметрии, зеркальной симметрии, при повороте вокруг прямой, преобразования подобия.
  • Г11у.16Строить сечения многогранников и тел вращения: сечения цилиндра (параллельно и перпендикулярно оси), сечения конуса (параллельное основанию и проходящее через вершину), сечения шара.
  • Г11у.17Использовать методы построения сечений: метод следов, метод внутреннего проектирования, метод переноса секущей плоскости.
  • Г11у.18Доказывать геометрические утверждения.
  • Г11у.19Применять геометрические факты для решения стереометрических задач, предполагающих несколько шагов решения, если условия применения заданы в явной и неявной форме.
  • Г11у.20Решать задачи на доказательство математических отношений и нахождение геометрических величин.
  • Г11у.21Применять программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении стереометрических задач.
  • Г11у.22Применять полученные знания на практике: сравнивать, анализировать и оценивать реальные ситуации, применять изученные понятия, теоремы, свойства в процессе поиска решения математически сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин.
  • Г11у.23Иметь представления об основных этапах развития геометрии как составной части фундамента развития технологий.

Темы содержания

  • Тела вращения
    Г11у.т1Понятия: цилиндрическая поверхность, коническая поверхность, сферическая поверхность, образующие поверхностей.
  • Г11у.т2Тела вращения: цилиндр, конус, усеченный конус, сфера, шар.
  • Г11у.т3Взаимное расположение сферы и плоскости, касательная плоскость к сфере.
  • Г11у.т4Изображение тел вращения на плоскости.
  • Г11у.т5Развертка цилиндра и конуса.
  • Г11у.т6Симметрия сферы и шара.
  • Г11у.т7Объем.
  • Г11у.т8Основные свойства объемов тел.
  • Г11у.т9Теорема об объеме прямоугольного параллелепипеда и следствия из нее.
  • Г11у.т10Объем прямой и наклонной призмы, цилиндра, пирамиды и конуса.
  • Г11у.т11Объем шара и шарового сегмента.
  • Г11у.т12Комбинации тел вращения и многогранников.
  • Г11у.т13Призма, вписанная в цилиндр, описанная около цилиндра.
  • Г11у.т14Пересечение сферы и шара с плоскостью.
  • Г11у.т15Касание шара и сферы плоскостью.
  • Г11у.т16Понятие многогранника, описанного около сферы, сферы, вписанной в многогранник или тело вращения.
  • Г11у.т17Площадь поверхности цилиндра, конуса, площадь сферы и ее частей.
  • Г11у.т18Подобие в пространстве.
  • Г11у.т19Отношение объемов, площадей поверхностей подобных фигур.
  • Г11у.т20Преобразование подобия, гомотетия.
  • Г11у.т21Решение задач на плоскости с использованием стереометрических методов.
  • Г11у.т22Построение сечений многогранников и тел вращения: сечения цилиндра (параллельно и перпендикулярно оси), сечения конуса (параллельное основанию и проходящее через вершину), сечения шара, методы построения сечений: метод следов, метод внутреннего проектирования, метод переноса секущей плоскости.
  • Векторы и координаты в пространстве
    Г11у.т23Векторы в пространстве.
  • Г11у.т24Операции над векторами.
  • Г11у.т25Векторное умножение векторов.
  • Г11у.т26Свойства векторного умножения.
  • Г11у.т27Прямоугольная система координат в пространстве.
  • Г11у.т28Координаты вектора.
  • Г11у.т29Разложение вектора по базису.
  • Г11у.т30Координатно-векторный метод при решении геометрических задач.
  • Движения в пространстве
    Г11у.т31Движения пространства.
  • Г11у.т32Отображения.
  • Г11у.т33Движения и равенство фигур.
  • Г11у.т34Общие свойства движений.
  • Г11у.т35Виды движений: параллельный перенос, центральная симметрия, зеркальная симметрия, поворот вокруг прямой.
  • Г11у.т36Преобразования подобия.
  • Г11у.т37Прямая и сфера Эйлера.

Вероятность и статистика

10 класс — базовый уровень

Предметные результаты

  • В10.1Читать и строить таблицы и диаграммы.
  • В10.2Оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее, наименьшее значение, размах массива числовых данных.
  • В10.3Оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт) и случайное событие, элементарное событие (элементарный исход) случайного опыта, находить вероятности в опытах с равновозможными случайными событиями, находить и сравнивать вероятности событий в изученных случайных экспериментах.
  • В10.4Находить и формулировать события: пересечение и объединение данных событий, событие, противоположное данному событию, пользоваться диаграммами Эйлера и формулой сложения вероятностей при решении задач.
  • В10.5Оперировать понятиями: условная вероятность, независимые события, находить вероятности с помощью правила умножения, с помощью дерева случайного опыта.
  • В10.6Применять комбинаторное правило умножения при решении задач.
  • В10.7Оперировать понятиями: испытание, независимые испытания, серия испытаний, успех и неудача, находить вероятности событий в серии независимых испытаний до первого успеха, находить вероятности событий в серии испытаний Бернулли.
  • В10.8Оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, диаграмма распределения.

Темы содержания

  • В10.т1Представление данных с помощью таблиц и диаграмм.
  • В10.т2Среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия и стандартное отклонение числовых наборов.
  • В10.т3Случайные эксперименты (опыты) и случайные события.
  • В10.т4Элементарные события (исходы).
  • В10.т5Вероятность случайного события.
  • В10.т6Близость частоты и вероятности событий.
  • В10.т7Случайные опыты с равновозможными элементарными событиями.
  • В10.т8Вероятности событий в опытах с равновозможными элементарными событиями.
  • В10.т9Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные события.
  • В10.т10Диаграммы Эйлера.
  • В10.т11Формула сложения вероятностей.
  • В10.т12Условная вероятность.
  • В10.т13Умножение вероятностей.
  • В10.т14Дерево случайного эксперимента.
  • В10.т15Формула полной вероятности.
  • В10.т16Независимые события.
  • В10.т17Комбинаторное правило умножения.
  • В10.т18Перестановки и факториал.
  • В10.т19Число сочетаний.
  • В10.т20Треугольник Паскаля.
  • В10.т21Формула бинома Ньютона.
  • В10.т22Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача.
  • В10.т23Независимые испытания.
  • В10.т24Серия независимых испытаний до первого успеха.
  • В10.т25Серия независимых испытаний Бернулли.
  • В10.т26Случайная величина.
  • В10.т27Распределение вероятностей.
  • В10.т28Диаграмма распределения.
  • В10.т29Примеры распределений, в том числе, геометрическое и биномиальное.
10 класс — углублённый уровень

Предметные результаты

  • В10у.1Свободно оперировать понятиями: граф, плоский граф, связный граф, путь в графе, цепь, цикл, дерево, степень вершины, дерево случайного эксперимента.
  • В10у.2Свободно оперировать понятиями: случайный эксперимент (опыт), случайное событие, элементарное случайное событие (элементарный исход) случайного опыта, находить вероятности событий в опытах с равновозможными элементарными событиями.
  • В10у.3Находить и формулировать события: пересечение, объединение данных событий, событие, противоположное данному, использовать диаграммы Эйлера, координатную прямую для решения задач, пользоваться формулой сложения вероятностей для вероятностей двух и трех случайных событий.
  • В10у.4Оперировать понятиями: условная вероятность, умножение вероятностей, независимые события, дерево случайного эксперимента, находить вероятности событий с помощью правила умножения, дерева случайного опыта, использовать формулу полной вероятности, формулу Байеса при решении задач, определять независимость событий по формуле и по организации случайного эксперимента.
  • В10у.5Применять изученные комбинаторные формулы для перечисления элементов множеств, элементарных событий случайного опыта, решения задач по теории вероятностей.
  • В10у.6Свободно оперировать понятиями: бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача, независимые испытания, серия испытаний, находить вероятности событий: в серии испытаний до первого успеха, в серии испытаний Бернулли, в опыте, связанном со случайным выбором из конечной совокупности.
  • В10у.7Свободно оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, диаграмма распределения, бинарная случайная величина, геометрическое, биномиальное распределение.
  • В10у.8Оперировать понятиями: совместное распределение двух случайных величин, использовать таблицу совместного распределения двух случайных величин для выделения распределения каждой величины, определения независимости случайных величин.
  • В10у.9Свободно оперировать понятием математического ожидания случайной величины (распределения), применять свойства математического ожидания при решении задач, вычислять математическое ожидание биномиального и геометрического распределений.
  • В10у.10Свободно оперировать понятиями: дисперсия, стандартное отклонение случайной величины, применять свойства дисперсии случайной величины (распределения) при решении задач, вычислять дисперсию и стандартное отклонение геометрического и биномиального распределений.

Темы содержания

  • В10у.т1Граф, связный граф, пути в графе: циклы и цепи.
  • В10у.т2Степень (валентность) вершины.
  • В10у.т3Графы на плоскости.
  • В10у.т4Деревья.
  • В10у.т5Случайные эксперименты (опыты) и случайные события.
  • В10у.т6Элементарные события (исходы).
  • В10у.т7Вероятность случайного события.
  • В10у.т8Близость частоты и вероятности событий.
  • В10у.т9Случайные опыты с равновозможными элементарными событиями.
  • В10у.т10Операции над событиями: пересечение, объединение, противоположные события.
  • В10у.т11Диаграммы Эйлера.
  • В10у.т12Формула сложения вероятностей.
  • В10у.т13Условная вероятность.
  • В10у.т14Умножение вероятностей.
  • В10у.т15Дерево случайного эксперимента.
  • В10у.т16Формула полной вероятности.
  • В10у.т17Формула Байеса.
  • В10у.т18Независимые события.
  • В10у.т19Бинарный случайный опыт (испытание), успех и неудача.
  • В10у.т20Независимые испытания.
  • В10у.т21Серия независимых испытаний до первого успеха.
  • В10у.т22Перестановки и факториал.
  • В10у.т23Число сочетаний.
  • В10у.т24Треугольник Паскаля.
  • В10у.т25Формула бинома Ньютона.
  • В10у.т26Серия независимых испытаний Бернулли.
  • В10у.т27Случайный выбор из конечной совокупности.
  • В10у.т28Случайная величина.
  • В10у.т29Распределение вероятностей.
  • В10у.т30Диаграмма распределения.
  • В10у.т31Операции над случайными величинами.
  • В10у.т32Бинарная случайная величина.
  • В10у.т33Примеры распределений, в том числе геометрическое и биномиальное.
  • В10у.т34Совместное распределение двух случайных величин.
  • В10у.т35Независимые случайные величины.
  • В10у.т36Математическое ожидание случайной величины (распределения).
  • В10у.т37Примеры применения математического ожидания (страхование, лотерея).
  • В10у.т38Математическое ожидание бинарной случайной величины.
  • В10у.т39Математическое ожидание суммы случайных величин.
  • В10у.т40Математическое ожидание геометрического и биномиального распределений.
  • В10у.т41Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины (распределения).
  • В10у.т42Дисперсия бинарной случайной величины.
  • В10у.т43Математическое ожидание произведения и дисперсия суммы независимых случайных величин.
  • В10у.т44Дисперсия и стандартное отклонение биномиального распределения.
  • В10у.т45Дисперсия и стандартное отклонение геометрического распределения..
11 класс — базовый уровень

Предметные результаты

  • В11.1Сравнивать вероятности значений случайной величины по распределению или с помощью диаграмм.
  • В11.2Оперировать понятием математического ожидания, приводить примеры, как применяется математическое ожидание случайной величины находить математическое ожидание по данному распределению.
  • В11.3Иметь представление о законе больших чисел.
  • В11.4Иметь представление о нормальном распределении.

Темы содержания

  • В11.т1Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение.
  • В11.т2Примеры применения математического ожидания, в том числе в задачах из повседневной жизни.
  • В11.т3Математическое ожидание бинарной случайной величины.
  • В11.т4Математическое ожидание суммы случайных величин.
  • В11.т5Математическое ожидание и дисперсия геометрического и биномиального распределений.
  • В11.т6Закон больших чисел и его роль в науке, природе и обществе.
  • В11.т7Выборочный метод исследований.
  • В11.т8Примеры непрерывных случайных величин.
  • В11.т9Понятие о плотности распределения.
  • В11.т10Задачи, приводящие к нормальному распределению.
  • В11.т11Понятие о нормальном распределении.
11 класс — углублённый уровень

Предметные результаты

  • В11у.1Вычислять выборочные характеристики по данной выборке и оценивать характеристики генеральной совокупности данных по выборочным характеристикам. Оценивать вероятности событий и проверять простейшие статистические гипотезы, пользуясь изученными распределениями.
  • В11у.2Приводить примеры задач, приводящих к показательному распределению, задач, приводящих к нормальному распределению. Оперировать понятиями: функция плотности вероятности показательного распределения, функция плотности вероятности нормального распределения, функция плотности и свойства нормального распределения.
  • В11у.3Определять коэффициент линейной корреляции, выборочный коэффициент корреляции.

Темы содержания

  • В11у.т1Неравенство Чебышёва.
  • В11у.т2Теорема Чебышёва.
  • В11у.т3Теорема Бернулли.
  • В11у.т4Закон больших чисел.
  • В11у.т5Выборочный метод исследований.
  • В11у.т6Выборочные характеристики.
  • В11у.т7Оценивание вероятности события по выборочным данным.
  • В11у.т8Проверка простейших гипотез с помощью изученных распределений.
  • В11у.т9Непрерывные случайные величины.
  • В11у.т10Примеры.
  • В11у.т11Функция плотности вероятности распределения.
  • В11у.т12Равномерное распределение и его свойства.
  • В11у.т13Задачи, приводящие к показательному распределению.
  • В11у.т14Задачи, приводящие к нормальному распределению.
  • В11у.т15Функция плотности вероятности показательного распределения, функция плотности вероятности нормального распределения.
  • В11у.т16Функция плотности и свойства нормального распределения.
  • В11у.т17Последовательность одиночных независимых событий.
  • В11у.т18Задачи, приводящие к распределению Пуассона.
  • В11у.т19Ковариация двух случайных величин.
  • В11у.т20Коэффициент линейной корреляции.
  • В11у.т21Совместные наблюдения двух величин.
  • В11у.т22Выборочный коэффициент корреляции.
  • В11у.т23Различие между линейной связью и причинно-следственной связью.
  • В11у.т24Линейная регрессия, метод наименьших квадратов.

ЕГЭ-2027 по математике (проект)

Источник: проекты кодификатора и спецификации ФИПИ ЕГЭ 2027 по математике (fipi.ru). Документы могут измениться до утверждения. Коды: «ЕТ9» — проверяемое требование 9, «ЕЭ7.1» — элемент содержания 7.1.

Задания КИМ профильного уровня: что проверяет каждое
  1. Задание 1часть 1 · уровень базовый · макс. балл 1 · требования 9, 10, 11 · разделы содержания 7

    Умение оперировать понятиями: плоский угол, площадь фигуры, подобные фигуры; умение использовать при решении задач изученные факты и теоремы планиметрии; умение вычислять геометрические величины (длина, угол, площадь), используя изученные формулы и методы

  2. Задание 2часть 1 · уровень базовый · макс. балл 1 · требования 12 · разделы содержания 7

    Умение оперировать понятиями: вектор, координаты вектора, сумма векторов, произведение вектора на число, скалярное произведение, угол между векторами

  3. Задание 3часть 1 · уровень базовый · макс. балл 1 · требования 9, 10, 11 · разделы содержания 7

    Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, величина угла, плоский угол, двугранный угол, угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми, расстояние между плоскостями, объём фигуры, площадь поверхности; умение использовать геометрические отношения при решении задач; умение вычислять геометрические величины (длина, угол, площадь, объём, площадь поверхности), используя изученные формулы и методы; умение использовать при решении задач изученные факты и теоремы планиметрии

  4. Задание 4часть 1 · уровень базовый · макс. балл 1 · требования 8 · разделы содержания 6

    Умение оперировать понятиями: случайное событие, вероятность случайного события; умение вычислять вероятность

  5. Задание 5часть 1 · уровень повышенный · макс. балл 1 · требования 8 · разделы содержания 6

    Умение оперировать понятиями: случайное событие, вероятность случайного события; умение вычислять вероятность с использованием графических методов; применять формулы сложения и умножения вероятностей, формулу полной вероятности, комбинаторные факты и формулы

  6. Задание 6часть 1 · уровень повышенный · макс. балл 1 · требования 8 · разделы содержания 6

    Умение оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины, функции распределения и плотности равномерного, показательного и нормального распределений; умение использовать свойства изученных распределений для решения задач

  7. Задание 7часть 1 · уровень базовый · макс. балл 1 · требования 3 · разделы содержания 2

    Умение решать уравнения, неравенства и системы с помощью различных приёмов

  8. Задание 8часть 1 · уровень базовый · макс. балл 1 · требования 2 · разделы содержания 1

    Умение выполнять вычисление значений и преобразования выражений со степенями и логарифмами, преобразования дробно-рациональных выражений

  9. Задание 9часть 1 · уровень базовый · макс. балл 1 · требования 4 · разделы содержания 3, 4

    Умение оперировать понятиями: функция, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, производная функции, первообразная; находить уравнение касательной к графику функции; умение находить производные элементарных функций; умение использовать производную для исследования функций, находить наибольшие и наименьшие значения функций; находить площади фигур с помощью интеграла

  10. Задание 10часть 1 · уровень повышенный · макс. балл 1 · требования 6 · разделы содержания 2

    Умение моделировать реальные ситуации на языке математики; составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры, исследовать полученное решение и оценивать правдоподобность результатов

  11. Задание 11часть 1 · уровень повышенный · макс. балл 1 · требования 6 · разделы содержания 2

    Умение решать текстовые задачи разных типов, составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать полученное решение и оценивать правдоподобность результатов

  12. Задание 12часть 1 · уровень повышенный · макс. балл 1 · требования 5 · разделы содержания 3

    Умение выражать формулами зависимости между величинами; использовать свойства и графики функций для решения уравнений

  13. Задание 13часть 1 · уровень повышенный · макс. балл 1 · требования 6 · разделы содержания 1, 2, 3

    Умение моделировать реальные ситуации на языке математики; составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры, интерпретировать полученный результат; умение решать текстовые задачи разных типов, в том числе задачи из области управления личными и семейными финансами

  14. Задание 14часть 2 · уровень повышенный · макс. балл 2 · требования 3 · разделы содержания 2

    Умение решать уравнения, неравенства и системы с помощью различных приёмов

  15. Задание 15часть 2 · уровень повышенный · макс. балл 3 · требования 9, 10, 11 · разделы содержания 7

    Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, отрезок, луч, величина угла, плоский угол, двугранный угол, трёхгранный угол, скрещивающиеся прямые, параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей, угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми, расстояние между плоскостями; площадь фигуры, объём фигуры, многогранник, поверхность вращения, площадь поверхности, сечение; умение строить сечение многогранника, изображать многогранники, фигуры и поверхности вращения, их сечения; использовать геометрические отношения при решении задач; находить и вычислять геометрические величины (длина, угол, площадь, объём, площадь поверхности), используя изученные формулы и методы; умение использовать при решении задач изученные факты и теоремы планиметрии

  16. Задание 16часть 2 · уровень повышенный · макс. балл 2 · требования 3 · разделы содержания 2

    Умение решать уравнения, неравенства и системы с помощью различных приёмов

  17. Задание 17часть 2 · уровень повышенный · макс. балл 2 · требования 4, 6 · разделы содержания 1, 2, 3, 4

    Умение моделировать реальные ситуации на языке математики; составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры и начал математического анализа, интерпретировать полученный результат; умение решать текстовые задачи разных типов, в том числе задачи из других учебных предметов

  18. Задание 18часть 2 · уровень повышенный · макс. балл 3 · требования 9, 11 · разделы содержания 7

    Умение оперировать понятиями: точка, прямая, отрезок, луч, величина угла; умение использовать при решении задач изученные факты и теоремы планиметрии, использовать геометрические отношения при решении задач; умение находить и вычислять геометрические величины (длина, угол, площадь), используя изученные формулы и методы

  19. Задание 19часть 2 · уровень высокий · макс. балл 4 · требования 3, 5 · разделы содержания 2, 3, 4

    Умение оперировать понятиями: тождество, тождественное преобразование, уравнение, неравенство, система уравнений и неравенств, равносильность уравнений, неравенств и систем; умение решать уравнения, неравенства и системы с помощью различных приёмов; решать уравнения, неравенства и системы с параметром; умение выражать формулами зависимости между величинами; использовать свойства и графики функций для решения уравнений, неравенств и задач с параметрами

  20. Задание 20часть 2 · уровень высокий · макс. балл 4 · требования 1, 2, 13 · разделы содержания 1, 2, 5

    Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач; умение приводить примеры и контрпримеры, проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений; умение оперировать понятиями: множества натуральных, целых, рациональных, действительных чисел, остаток по модулю; умение использовать признаки делимости, наименьший общий делитель и наименьшее общее кратное; умение выбирать подходящий метод для решения задачи

Проверяемые требования к предметным результатам (1–13)
  • ЕТ1Владение методами доказательств, алгоритмами решения задач; умение формулировать и оперировать понятиями: определение, аксиома, теорема, следствие, свойство, признак, доказательство, равносильные формулировки; применять их; умение формулировать обратное и противоположное утверждение, приводить примеры и контрпримеры, использовать метод математической индукции; проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений; умение оперировать понятиями: множество, подмножество, операции над множествами; умение использовать теоретико-множественный аппарат для описания реальных процессов и явлений и при решении задач, в том числе из других учебных предметов; умение оперировать понятиями: граф, связный граф, дерево, цикл, граф на плоскости; умение задавать и описывать графы различными способами; использовать графы при решении задач
  • ЕТ2Умение оперировать понятиями: натуральное число, целое число, степень с целым показателем, корень натуральной степени, степень с рациональным показателем, степень с действительным показателем, логарифм числа, синус, косинус и тангенс произвольного числа, остаток по модулю, рациональное число, иррациональное число, множества натуральных, целых, рациональных, действительных чисел; умение использовать признаки делимости, алгоритм Евклида при решении задач; знакомство с различными позиционными системами счисления; умение выполнять вычисление значений и преобразования выражений со степенями и логарифмами, преобразования дробно-рациональных выражений; умение оперировать понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия; умение задавать последовательности, в том числе с помощью рекуррентных формул; умение оперировать понятиями: комплексное число, сопряжённые комплексные числа, модуль и аргумент комплексного числа, форма записи комплексных чисел (геометрическая, тригонометрическая и алгебраическая); уметь производить арифметические действия с комплексными числами; приводить примеры использования комплексных чисел; оперировать понятиями: матрица 2×2 и 3×3, определитель матрицы, геометрический смысл определителя
  • ЕТ3Умение оперировать понятиями: рациональные, иррациональные, показательные, степенные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства, их системы; умение оперировать понятиями: тождество, тождественное преобразование, уравнение, неравенство, система уравнений и неравенств, равносильность уравнений, неравенств и систем; умение решать уравнения, неравенства и системы с помощью различных приёмов; решать уравнения, неравенства и системы с параметром; применять уравнения, неравенства, их системы для решения математических задач и задач из различных областей науки и реальной жизни
  • ЕТ4Умение оперировать понятиями: функция, чётность функции, периодичность функции, ограниченность функции, монотонность функции, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке, непрерывная функция, асимптоты графика функции, первая и вторая производная функции, геометрический и физический смысл производной, первообразная, определённый интеграл; умение находить асимптоты графика функции; умение вычислять производные суммы, произведения, частного и композиции функций, находить уравнение касательной к графику функции; умение находить производные элементарных функций; умение использовать производную для исследования функций, находить наибольшие и наименьшие значения функций; строить графики многочленов с использованием аппарата математического анализа; применять производную для нахождения наилучшего решения в прикладных, в том числе социально-экономических и физических задачах; находить площади и объёмы фигур с помощью интеграла; приводить примеры математического моделирования с помощью дифференциальных уравнений
  • ЕТ5Умение оперировать понятиями: график функции, обратная функция, композиция функций, линейная функция, квадратичная функция, рациональная функция, степенная функция, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, показательная и логарифмическая функции; умение строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков функций, использовать графики для изучения процессов и зависимостей, при решении задач из других учебных предметов и задач из реальной жизни; выражать формулами зависимости между величинами; использовать свойства и графики функций для решения уравнений, неравенств и задач с параметрами; изображать на координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств и их систем
  • ЕТ6Умение решать текстовые задачи разных типов (в том числе на проценты, доли и части, на движение, работу, стоимость товаров и услуг, налоги, задачи из области управления личными и семейными финансами); составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать полученное решение и оценивать правдоподобность результатов; умение моделировать реальные ситуации на языке математики; составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры, интерпретировать полученный результат
  • ЕТ7Умение оперировать понятиями: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия, стандартное отклонение числового набора; умение извлекать, интерпретировать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, отражающую свойства реальных процессов и явлений; представлять информацию с помощью таблиц и диаграмм; исследовать статистические данные, в том числе с применением графических методов и электронных средств; графически исследовать совместные наблюдения с помощью диаграмм рассеивания и линейной регрессии
  • ЕТ8Умение оперировать понятиями: случайный опыт и случайное событие, вероятность случайного события; умение вычислять вероятность с использованием графических методов; применять формулы сложения и умножения вероятностей, формулу полной вероятности, формулу Бернулли, комбинаторные факты и формулы; оценивать вероятности реальных событий; умение оперировать понятиями: случайная величина, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение случайной величины, функции распределения и плотности равномерного, показательного и нормального распределений; умение использовать свойства изученных распределений для решения задач; знакомство с понятиями: закон больших чисел, методы выборочных исследований; умение приводить примеры проявления закона больших чисел в природных и общественных явлениях; умение оперировать понятиями: сочетание, перестановка, число сочетаний, число перестановок; бином Ньютона; умение применять комбинаторные факты и рассуждения для решения задач; оценивать вероятности реальных событий; составлять вероятностную модель и интерпретировать полученный результат
  • ЕТ9Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, пространство, отрезок, луч, величина угла, плоский угол, двугранный угол, трёхгранный угол, скрещивающиеся прямые, параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей, угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости, расстояние между прямыми, расстояние между плоскостями; умение использовать при решении задач изученные факты и теоремы планиметрии; умение оценивать размеры объектов окружающего мира; строить математические модели с помощью геометрических понятий и величин, решать связанные с ними практические задачи
  • ЕТ10Умение оперировать понятиями: площадь фигуры, объём фигуры, многогранник, правильный многогранник, сечение многогранника, куб, параллелепипед, призма, пирамида, фигура и поверхность вращения, цилиндр, конус, шар, сфера, площадь сферы, площадь поверхности пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара, развёртка поверхности, сечения конуса и цилиндра, параллельные оси или основанию, сечение шара, плоскость, касающаяся сферы, цилиндра, конуса; умение строить сечение многогранника, изображать многогранники, фигуры и поверхности вращения, их сечения, в том числе с помощью электронных средств; умение применять свойства геометрических фигур, самостоятельно формулировать определения изучаемых фигур, выдвигать гипотезы о свойствах и признаках геометрических фигур, обосновывать или опровергать их; умение проводить классификацию фигур по различным признакам, выполнять необходимые дополнительные построения
  • ЕТ11Умение оперировать понятиями: движение в пространстве, параллельный перенос, симметрия на плоскости и в пространстве, поворот, преобразование подобия, подобные фигуры; умение распознавать равные и подобные фигуры, в том числе в природе, искусстве, архитектуре; использовать геометрические отношения при решении задач; находить геометрические величины (длина, угол, площадь, объём) при решении задач из других учебных предметов и из реальной жизни; умение вычислять геометрические величины (длина, угол, площадь, объём, площадь поверхности), используя изученные формулы и методы, в том числе: площадь поверхности пирамиды, призмы, конуса, цилиндра, площадь сферы; объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара; умение находить отношение объёмов подобных фигур
  • ЕТ12Умение оперировать понятиями: прямоугольная система координат, вектор, координаты точки, координаты вектора, сумма векторов, произведение вектора на число, разложение вектора по базису, скалярное произведение, векторное произведение, угол между векторами; умение использовать векторный и координатный метод для решения геометрических задач и задач других учебных предметов
  • ЕТ13Умение выбирать подходящий метод для решения задачи; понимание значимости математики в изучении природных общественных процессов и явлений; умение распознавать проявление законов математики в искусстве, умение приводить примеры математических открытий российской и мировой математической науки
Элементы содержания

1. Числа и вычисления

  • ЕЭ1.1Натуральные и целые числа. Признаки делимости целых чисел
  • ЕЭ1.2Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби, проценты, бесконечные периодические дроби
  • ЕЭ1.3Арифметический корень натуральной степени. Действия с арифметическими корнями натуральной степени
  • ЕЭ1.4Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени
  • ЕЭ1.5Синус, косинус и тангенс числового аргумента. Арксинус, арккосинус, арктангенс числового аргумента
  • ЕЭ1.6Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы
  • ЕЭ1.7Действительные числа. Арифметические операции с действительными числами. Приближённые вычисления, правила округления, прикидка и оценка результата вычислений
  • ЕЭ1.8Преобразование выражений
  • ЕЭ1.9Комплексные числа

2. Уравнения и неравенства

  • ЕЭ2.1Целые и дробно-рациональные уравнения
  • ЕЭ2.2Иррациональные уравнения
  • ЕЭ2.3Тригонометрические уравнения
  • ЕЭ2.4Показательные и логарифмические уравнения
  • ЕЭ2.5Целые и дробно-рациональные неравенства
  • ЕЭ2.6Иррациональные неравенства
  • ЕЭ2.7Показательные и логарифмические неравенства
  • ЕЭ2.8Тригонометрические неравенства
  • ЕЭ2.9Системы и совокупности уравнений и неравенств
  • ЕЭ2.10Уравнения, неравенства и системы с параметрами
  • ЕЭ2.11Матрица системы линейных уравнений. Определитель матрицы

3. Функции и графики

  • ЕЭ3.1Функция, способы задания функции. График функции. Взаимно обратные функции. Чётные и нечётные функции. Периодические функции
  • ЕЭ3.2Область определения и множество значений функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства. Промежутки монотонности функции. Максимумы и минимумы функции. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
  • ЕЭ3.3Степенная функция с натуральным и целым показателем. Её свойства и график. Свойства и график корня n-ой степени
  • ЕЭ3.4Тригонометрические функции, их свойства и графики
  • ЕЭ3.5Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики
  • ЕЭ3.6Точки разрыва. Асимптоты графиков функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке
  • ЕЭ3.7Последовательности, способы задания последовательностей
  • ЕЭ3.8Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула сложных процентов

4. Начала математического анализа

  • ЕЭ4.1Производная функции. Производные элементарных функций
  • ЕЭ4.2Применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
  • ЕЭ4.3Первообразная. Интеграл

5. Множества и логика

  • ЕЭ5.1Множество, операции над множествами. Диаграммы Эйлера – Венна
  • ЕЭ5.2Логика

6. Вероятность и статистика

  • ЕЭ6.1Описательная статистика
  • ЕЭ6.2Вероятность
  • ЕЭ6.3Комбинаторика

7. Геометрия

  • ЕЭ7.1Фигуры на плоскости
  • ЕЭ7.2Прямые и плоскости в пространстве
  • ЕЭ7.3Многогранники
  • ЕЭ7.4Тела и поверхности вращения
  • ЕЭ7.5Координаты и векторы